釋疑解惑探真知

范叔旺

摘 ?要：本節(jié)課在學習完“任意角和弧度制”后的一節(jié)新授課——任意角的三角函數(shù)。為更好地突出“三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學模型”這一本質，教材通過現(xiàn)實世界的周期現(xiàn)象，在學生感受引入三角函數(shù)必要性的基礎上，引出三角函數(shù)概念。特別強調了單位圓的直觀作用，用單位圓上的點的坐標定義正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。

關鍵詞：三角函數(shù);過程;反思

一、學生學習情況分析

學生雖然有銳角三角函數(shù)的知識和經(jīng)驗，但他們自己在閱讀教材時，會產生以下的疑惑：

1.任意角的三角函數(shù)定義為什么要引入坐標系？

2.的正弦值為什么規(guī)定用比，而不是的絕對值比？

為此要利用學生的日常生活經(jīng)驗，設計數(shù)學應用的問題情境，讓學生感受到數(shù)學的自然性、實用性。

二、教學過程（教學片段）

師：學習任意角的概念讓你留下哪些深刻的印象？

生：負角、零角、正角等。

師：還有比較具體的嗎？

生：（遲疑了下）哦，角的周而復始的旋轉。

師：很好，如何表示角的周而復始的旋轉加表示什么含義？

生：

師：很好。若我在終邊上取一距離原點的半徑為1的定點，那么它在旋轉后形成的軌跡就是圓。那么，我們學過的函數(shù)中有沒有刻畫圓周運動？

生：（學生疑惑）好像沒有。

師：我們這節(jié)課就是來一起學習如何刻畫圓周運動的函數(shù)，叫做《任意角的三角函數(shù)》。當終邊轉過時，則等于多少？

生：（很快的）。

師：那么的正弦、余弦、正切值呢？

生：還是吧。

師：還是直角三角形中的三角函數(shù)？

生：是。

師：它能等同于這個角三角函數(shù)值嗎？

生：能。

師：你是利用銳角三角函數(shù)的知識來做的，但是角已經(jīng)不是銳角了吧，在銳角三角形中還能找到它嗎？

生：（疑惑）不行。

師：那有更好的方式來定義它嗎？（教師旋轉終邊，與單位圓的交點P的坐標隨時在變化，同時在學生熟悉的等角處停留）

生：（經(jīng)觀察后恍然大悟）可以利用點P的坐標來表示。

師：（喜悅）如何具體表示？

生：設坐標P（），則。

師：（部分學生還有疑慮）這樣定義到底何不合理要看具體情況，我們可以具體舉例進行驗證。當旋轉到時呢？

有學生通過計算器驗證得

，

符合剛才的定義。也有學生仍然通過構建直角三角形求出為。

師：若依然利用直角三角形的三角函數(shù)來做，它的問題在哪里？

生：此時的不是，也就是說，在直角三角形里已經(jīng)找不到了。

師：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變嗎？為什么？

由于學生第一次接觸單位圓，對它所能起的作用不了解，所以需要教師的引導。也可以引導學生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結合起來。

師：剛才圓的半徑，當它的半徑不等于1時，又如何呢？

生：，，。

給出下列表格，讓學生自己補充完整。

三角函數(shù)

定義一：

定義二：

定義域

及時歸納總結，有利于學生對所學知識的鞏固和掌握。

三、教學反思

1.教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上。從任意角的而周而復始的旋轉入手，抓住了三角函數(shù)是刻畫圓周運動的數(shù)學本質，認知過程符合學生的認知特點和學生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質，特殊到一般，體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)。

2.通過單位圓來定義三角函數(shù)，滲透數(shù)形結合思想。同時在說明三角函數(shù)是函數(shù)上體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想。由銳角三角函數(shù)的坐標表示引到任意角的三角函數(shù)的坐標表示，展示類比的思想。在探索四象限的三角函數(shù)的符號特征時，我采用探究式學習方式，鍛煉了學生的獨立思考能力，也充分展現(xiàn)了學生自學、探究學習的過程。

參考文獻：

[1]魏翠萍，高志海，郭婷婷.一個基于三角函數(shù)的直覺模糊熵公式[J].控制與決策，2012，27（4）：571-574.

[2]李加文，陳宗雨，李從心.基于函數(shù)逼近的三角函數(shù)加減速方法[J].機床與液壓，2006（3）：66-67.