淺談格林公式在計算曲線積分中的應用

李玉榮

摘要：本文通過舉例展示了格林公式及由格林公式推導出的四個等價命題在計算第二型曲線積分中發揮著非常重要的作用。

關鍵詞：格林公式;曲線積分

格林公式將平面閉區域上的二重積分與沿閉區域的邊界曲線上的第二型曲線積分聯系了起來。

一、下面先給出格林公式及由格林公式推導出的四個等價命題

定理（格林公式）：設閉區域由分段光滑的曲線圍成，若函數（，）及（，）在上具有一階連續偏導數，則有

其中是的取正向的邊界曲線。

由格林公式可以推出以下四個等價命題，即在前提條件成立的情況下，以下四個命題是等價的。這四個命題在曲線積分的計算中發揮著非常重要的作用。

條件：j區域是單連通區域（若對于平面區域上任一封閉曲線，皆可不經過以外的點而連續收縮于屬于的某一點，則稱此平面區域為單連通區域，通俗地說，單連通區域是沒有“洞”的區域）;

k（，）及（，）在內具有連續的一階偏導數。

四個等價命題：

1、在內，與路徑無關，只與起點、終點有關。

2、

3、在內存在，使

4、在

注意：以上四個命題等價的兩個條件缺一不可。

二、舉例

1、當給定曲線較復雜時，可以利用積分與路徑無關，選取簡單路線。

例1 計算，其中為由點到點的曲線弧。

解：由于曲線較復雜，所以先檢驗積分是否與路徑無關。

滿足第4個命題，從而由命題1，原積分與路徑無關。

所以選取為的折線，

2、當給定曲線較復雜，但積分與路徑有關時，可以補充曲線使其封閉，然后利用格林公式來計算。

例2 計算，其中為由點（a，0）到點（0，0）的上半圓周+=，。

解

即，積分與路徑有關。

補充曲線為（0，0）到（a，0）的線段，

所以原式

3、若是某個函數的全微分，則可利用曲線積分求出該函數，即

例3 驗證在整個平面內是某一函數的全微分，并求這樣的一個。

解：由于

所以是某一函數的全微分，且

參考文獻：

[1]高等數學[M].北京：高等教育出版社.2014

[2]數學分析[M].北京：高等教育出版社.2010