關于高等數學中極限思想的研究

程梓潔

【摘 要】極限是高等數學中一種基礎且比較重要的知識，本文主要針對高等數學中極限思想的研究。由于對極限思想概念難以把握和理解，特提出從了解內涵，熟悉方法，掌握其描述三個層次來理解極限思想并解決有關高等數學中的極限思想問題。

【關鍵詞】極限思想;辯證思維;高等數學

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）28-0010-02

1? ?引言

高等數學中的極限思想是一種基本概念，在整個高等數學的學習過程中占有極其重要的地位。極限思想為高等數學理論方面的學習和研究以及應用實踐創造的拓寬作出了進一步的深化，加強了學生對高等數學的理論方面的掌握，便于學生解決復雜的數學問題。極限思想有著不同于初等數學中的知識特征，同時其也是對高等數學實踐應用方面研究的主要方法。在整個高等數學的學習過程中有許多的重要概念都是通過極限思想定義而成的。從高等數學中連續的思想到導數的概念，從積分論中一元函數的積分到重積分以及曲面積分全部都是由極限思想定義而成的[1]。高等數學中的極限思想不僅是一個簡單且易掌握的數學概念，它同時也是一種對客觀世界數量變化處理的新思維、新方法。

作為學生，在小學到初高中學習的數學內容被稱為初等數學，又稱為常量數學。在初等數學時期，從公元前五世紀到公元十七世紀，延續了兩千多年，初等數學的結束是由于高等數學逐漸產生。在初高中數學的學習中，學生接觸的都是常量計算，所以學生容易產生一種定式思維，而高等數學則是以一種運動的、變化的思想來解決和處理問題，極限思想就是處理這種問題最為有效且便捷的方法。因此，高等數學中極限思想的掌握直接影響著數學的深入學習與發展。

2? ?正確了解無限的內涵

極限思想是由于人類在社會實踐中大腦因思考活動而抽象思維出的一種特殊的產物。極限的思想可以追溯到古代。如中國古代劉徽的割圓術就是建立在直觀的圖形研究基礎上的一種原始的“不斷靠近”的極限思想的應用;古希臘人發現的窮竭法同樣也是蘊含了這種極限思想[2]。變量與常量、無限與有限的思想就是極限思想所揭示的奧秘所在，并且借此證明了他們兩者的對立且統一的關系，這兩者是唯物辯證法中的對立統一規律在數學領域中的精妙應用。其中“無限”與“有限”的概念雖然其本質是不同的，但是二者又有著千絲萬縷的聯系，“無限”是大腦中抽象思維的概念，存在于大腦里。“有限”是客觀實際存在的千變萬化的事物的“量”的映射，符合客觀實際規律，“無限”屬于整體，按公理，整體大于局部思維[3]。

如在高等數學中數列的極限收斂定義：設{Xn}為一個無窮實數數列的集合。如果存在實數a，對任意正數ε（不論其多么小），都N>0，使不等式|Xn-a|<ε在n∈（N，+∞）上恒成立，那么就稱常數a是數列{Xn}的極限，或稱數列{Xn}收斂于a。記作或。該定義中使用到了“無限”思想的內涵：自然數N的無限大，數列{Xn}趨近于a，這也就是“無限”數列的關鍵。

3? ?熟悉辯證的思維方式

辯證思維是指從事物不斷變化發展的角度開始逐漸認識事物的思維方式，這種思維方式通常情況下被認為是與邏輯思維相互作用的一種思維方式。在極限思想發展的整個過程中，就充分體現了變與不變的辯證思維方法。事物的運動是絕對的，而靜止則是相對的，這是物質世界的普遍發展規律[4]。如函數y=2x中，x是該函數的自變量，y是因變量，y隨x的變化而變化，“2”則是該函數中的常量，這一個簡單函數中就體現了“變與不變”的關系。在極限中，當n的不斷增大，Xn無限趨近于a，n越大精確度就越高，那么只有當n無窮大時才等于a。這一極限的思想就將約似與精確兩個相互對立的基本概念轉化成了一體，這一過程就充分地體現了約似與精確兩者的對立與統一。

掌握辯證的思維方式是一段漫長而又艱難的過程，當學生剛踏入大學校園時對一切認知都是感到新穎的，剛剛學習高等數學的極限思想切忌操之過急，揠苗助長，導致事半功倍。在整個數學學習的過程中，逐步掌握辯證的思維方式是學習的基礎，這一逐步提升的過程將對學生無論是學習高等數學或是其他學科都有極為重要的意義。

4? ?掌握數學語言對無限的描述

無限與有限是相輔相成的，相依而存的。如在極限收斂的定義中，如果存在實數a，對任意正數ε，都

N>0，使不等式|Xn-a|<ε在n∈（N，+∞）上恒成立，那么就稱常數a是數列{Xn}的極限，或稱數列{Xn}收斂于a。記作或。這是高等數學中的ε語言，定義中的ε是任意變化的，但是從結題的最后結果來看ε又是固定的，有限的，這就體現了“變與不變”的辯證思想方式，“ε語言”的巧妙運用把極限思想體現得淋漓盡致[5]。通過理解這種極限思想，學會用有限來描述無限概念，這對學生今后的數學學習有著重要作用，這是掌握極限概念的關鍵因素。高等數學中的極限語言并不是那么難以掌握，作為學生要學會在理解的基礎上掌握，在掌握的條件下靈活運用，從而解決生活和學習中的困難與問題。有一些數學概念用文字語言描述并不那么難以理解，但是用數學語言描述卻有些晦澀難懂，如極限的定義就是如此。其實，在不斷學習新知識的過程中，學生會逐步體會運用數學極限語言的重要性，必要性，準確性，靈活性，讓學生學習數學的能力更上一個臺階。

5? ?結束語

因生活中的實際需要進而產生了數學概念，所以，在整個數學學習和數學教學的過程中，應重視從實際的角度抽象出數學概念思想，培養學習數學的興趣愛好。極限思想是數學學習過程中的重難點，貫穿于整個高等數學體系中，要想恰當的理解和掌握并熟練運用極限思想不是一個簡單的過程，要循序漸進的逐步提升。通過今后的數學學習，學生將進一步準確掌握極限思想，并且能夠靈活地將這種思想運用到除高等數學以外的其他科目的學習中去。掌握辯證的思想是數學學習的基礎，在“變與不變”中體會數學的美妙與神奇之處。運用簡便的數學語言描述復雜的數學思路，這是解決數學題目的關鍵所在，也是數學學習的精妙。

【參考文獻】

[1]徐利治.數學方法論選講[M].武漢：華中理工大學出版社，1988.

[2]沈燮昌.邵品琮.數學分析縱橫談[M].北京：北京大學出版社，1991.

[3]劉玉鏈.數學分析講義[M].高等教育出版社，1984.

[4]王麗麗.高等數學中極限思想的淺析[J].淮南職業技術學院學報，2015（3）.

[5]陳剛，米平治.關于高等數學中極限思想的研究[J].大學數學，2001（3）.