切線長定理在高中數學中的應用

【摘 要】切線長定理在高中數學中，與“直線與圓”這塊內容緊密相連，經常考查，但很多學生在遇到這種題型的時候，都有點束手無策。而切線長定理每次考到的考點都是類似的，本質上都是從圓外一點向圓引切線，只是題目條件會發生變化，點和圓是否含參數會讓整個題的難度不一樣。本文先將切線長定理相關考點進行總結，再根據點和圓是否含參數，將題型分為以下三類：①定點定圓型;②動點定圓型;③定點動圓型。希望通過總結能幫助高中生增強解決切線長定理相關問題的信心。

【關鍵詞】切線長定理;定點定圓型;動點定圓型;定點動圓型

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）28-0038-03

高中數學中，切線長定理和“直線與圓”這塊內容緊密相連，經常考查，但很多學生在遇到這種題型的時候，都有點束手無策，針對這種情況，筆者將自身經驗進行總結，希望能為廣大學生解除困惑，增強自信。

1? ?切線長定理在高中數學應用中的有關考點總結

如圖1，過圓外一點P向該圓M引兩條切線，切點分別為A、B，則;

MP平分∠APB;

MP垂直平分AB;

MA⊥AP，MB⊥BP;

S四邊形AMBP=2S△AMP;

S四邊形AMBP=∣AB∣·∣PM∣;

M，A，P，B四點共圓，直徑為MP。

證明：（1）∵PA與圓相切于A，∴PA⊥MA，在Rt△PMA中，由勾股定理得，由切線長定理可知，，因此成立;

由切線長定理得MP平分∠APB;

由對稱性可證（略）;

相切可得（略）;

由對稱性可證（略）

∵MP⊥AB，

S四邊形AMBP=∣AB∣·∣PM∣

四邊形MAPB對角互補，所以M，A，P，B四點共圓，∵∠MBP=90°，∴直徑為MP。

2? ?切線長定理題型總結

在具體的考題中，這種題型的難度又不盡相同，有些屬于基礎題，有些屬于中檔甚至壓軸題，主要體現在是否含參數上，根據筆者經驗，把切線長定理相關題型分成以下三個類型。

類型一：定點定圓型

例1 過點向圓作兩條切線，切點分別為A、B，線段AB的中點為Q，坐標原點為O，如圖2.

求切線PA或PB的長度;

求圓PAOB的方程;

求直線AB的方程;

求四邊形PAOB的面積;

求PQ的長度;

實際上，以上三種題型本質上都是一樣的，方法都是類似的，區別只是在于P點和圓是否含參，類型一P點和圓都不含參，難度較低;類型二是P點含參;類型三是圓含參，難度就提高了，主要體現在表達式含參數，顯得更復雜了。但是，如果讓學生了解考點和題型，并采用化歸的數學思想方法，把題轉化到類似的模型上去，那學生就能比較容易的解決出來，那么學生就不會再畏懼這樣的題，從而增強學習數學的自信。

【作者簡介】

譚莉，研究生畢業于北京師范大學教育學部課程與教學論（數學專業），本科畢業于北京師范大學數學科學學院數學與應用數學專業，畢業后任成都市新都一中高中數學教師，擔任班主任工作。