基于蒙特卡洛排隊論的航空港出租汽車決策模型

李昊楠　朱天逸　單吉琪

摘要：隨著城市與城市之間的交流更加密切，每個城市的飛機(jī)場也迎來越來越多的人流量。出租車作為乘客下了飛機(jī)后的主要交通工具之一，圍繞它的一系列問題也越來越受人關(guān)注。若能對旅客需求進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)判，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)車輛調(diào)配管理，旅客與出租汽車雙方的利益就能達(dá)到最大化。本文圍繞研究背景中提出的四個實(shí)際問題，就對出租車司機(jī)接客決策，機(jī)場“乘車點(diǎn)”的設(shè)置，以及出租車司機(jī)收益均衡的數(shù)學(xué)建模。

關(guān)鍵詞：蒙特卡洛排隊模型;圖論;基尼系數(shù);Pyr.hon決策

一、研究背景

（一）研究背景

一般航空港會將送客到港的出租汽車引入載客返程通道，以便他們將乘客帶回市區(qū)，對出租汽車司機(jī)而言這不妨是一個賺取遠(yuǎn)程車費(fèi)的好方式，但面臨的問題就是出租汽車司機(jī)需要在蓄車池中等待一定的時間，這段時間會成為他們的機(jī)會成本。在航空港出租汽車管理實(shí)踐中，管理人員將分批定量讓出租車進(jìn)入“乘車區(qū)”，同時安排一定數(shù)量的乘客登車。在面臨這樣的兩個選擇時，影響出租車司機(jī)決策的因素很多，例如在蓄車池排行的汽車數(shù)量、排行時進(jìn)港的航班數(shù)量、主觀疲憊程度、邊際收益的效用等。

（二）要解決的問題

1.在出租汽車做決策時，影響出租車司機(jī)決策的因素很多，通過分析研究影響因素的作用機(jī)理，綜合考慮航空港進(jìn)港航班數(shù)量、乘客數(shù)量的數(shù)量變化規(guī)律和出租汽車司機(jī)的收益，建立出租汽車司機(jī)做出選擇決策的模型，并給出司機(jī)最優(yōu)的選擇策略。

2.在某機(jī)場的乘車區(qū)域有兩條并行車道，航空港出租汽車管理部門應(yīng)如何設(shè)置乘客上車點(diǎn)，并合理安排出租車和乘客，才能在保證車輛和乘客安全的前提下，使得乘客的乘車效率最高。

3.航空港出租汽車載客的收益與載客的行駛里程有關(guān)，將要返程的乘客目的地遠(yuǎn)近不一，出租汽車自己不能選擇乘客或拒載乘客，所以選擇載客返程的出租汽車司機(jī)仍然面臨著收益高低的不確定風(fēng)險，但機(jī)場允許出租車多次往返接客，這就為收益的均衡性提供了可能。

二、問題分析

（一）問題一分析

根據(jù)題目背景，司機(jī)能得知某時刻抵達(dá)的航班數(shù)量y和蓄車池里的車輛數(shù)x，而x和y決定了乘車區(qū)里人的等待時間和出租車司機(jī)的等待時間，進(jìn)一步的決定了司機(jī)的收益。因此司機(jī)應(yīng)通過觀察x和y的數(shù)值，來做出決策。

（二）問題二分析

本題模型以乘客為視角，通過計算不同的“上車點(diǎn)”數(shù)量對乘客的平均等待時長、客等車效率、車等客效率等參數(shù)的影響，來最終權(quán)衡出最佳的“上車點(diǎn)”數(shù)量。當(dāng)“上車點(diǎn)”數(shù)量很大時，不僅車等客的效率會降低，也會產(chǎn)生難以管理的安全風(fēng)險，因此模型還引入危險指數(shù)，將車輛和乘客安全考慮其中。

（三）問題三分析

延續(xù)問題二中的得出的最優(yōu)“上車點(diǎn)”設(shè)置，為了平衡出租車司機(jī)每一單客人的獲利，我們的方案是：將這n個“上車點(diǎn)”按照乘客乘坐距離的遠(yuǎn)近劃分成四組指定“上車點(diǎn)”，這四組“上車點(diǎn)”P，P，P，P所代表的行駛距離（亦即乘客乘坐距離）由近及遠(yuǎn)為S，S，S，S，且上一單在P的司機(jī)，本單只允許去P或P接客;上一單為P的司機(jī)，本單只允許去P接客;上一單為P的司機(jī)，本單只允許去P或P接客;上一單為P的司機(jī)，本單只允許去P接客。

三、模型假設(shè)

1.所有司機(jī)都是經(jīng)濟(jì)理性人，即所有決策以自身收益最大化為基礎(chǔ)。

2.不考慮乘客下機(jī)后在機(jī)場內(nèi)的逗留時間，乘客在上車時耗費(fèi)的時間相等。

3.航班數(shù)服從泊松分布，不考慮航班數(shù)量隨季節(jié)的變化。

4.問題二模型中，乘客到達(dá)“乘車區(qū)”的時間服從泊松分布，出租汽車到達(dá)“蓄車池”的時間服從泊松分布。

四、變量說明

本文建立模型的過程中主要涉及以下變量，變量符號及含義說明如下：

t車的等待時間;t人的等待時間;S機(jī)場到市區(qū)距離;S出租車在市區(qū)內(nèi)平均每單的公里數(shù);r（市區(qū)）接單率;r每公里耗油所需的費(fèi)用;r每公里收費(fèi);x蓄車池里的車輛數(shù);y單位時間內(nèi)抵達(dá)的航班數(shù)量;r每架航班上選擇打車的人數(shù);t每組乘客上車的用時;r每輛車平均載客人數(shù);ζ，實(shí)際候車數(shù)>理論需車數(shù)時，司機(jī)需要多等的時間（即兩批航班的時間間隔）;ζ實(shí)際候車數(shù)<理論需車數(shù)時，乘客需要多等的時間;n到達(dá)隊伍的人數(shù);n乘客組數(shù)， n上車點(diǎn)數(shù)量;t每組乘客到達(dá)隊伍時間;t每組乘客等待車的時間;t每組乘客進(jìn)入上車點(diǎn)時間;t每組乘客排隊結(jié)束時間;t每組乘客在隊伍中的時間;t上車點(diǎn)空閑時間;t每組乘客的上車時間;r危險指數(shù)。

五、模型建立與求解

（一）問題一：出租車司機(jī)的決策模型

首先，分別建立司機(jī)選擇等待和返回的獲利函數(shù)式f（x），f（x），兩者都由各自情況下的載客收益減去油耗成本得出。

（其中，出租車的等待時間t=x t+ζ）

令f（x）=f（x）-f（x），那么當(dāng)f（x）>0時，司機(jī)選擇排隊等候的利潤更大;當(dāng)f（x）<0時，司機(jī)選擇放空返回市區(qū)拉客的利潤更大。

綜合乘客數(shù)量和 出租車數(shù)量來看，當(dāng)排隊系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，實(shí)際在“蓄車池”中排隊的車輛數(shù)x應(yīng)等于載完該批乘客所需的理論車輛數(shù)（yr/r）。于是下面分“人多車少”和“人少車多”兩種情況分析出租車司機(jī)該如何選擇。

1.情況一：人多車少

時，人多車少，即實(shí)際候車數(shù)<理論需車數(shù)，此時司機(jī)不需要額外等待下一班航班的乘客就能接到單，因此ζ=0。出租車的等待時間

在這樣的情況下，令f（x）>0，可得

表示在出租車司機(jī)觀察到 的情況下，如果此時“蓄車池”里的車輛數(shù)小于（I）這一定值，則該司機(jī)應(yīng)選擇排隊等待;反之則選擇放空返回。

2.情況二：人少車多 時，人少車多，即實(shí)際候車數(shù)>理論需車數(shù)，此時司機(jī)需要額外等待下一班航班的乘客的到來才能接到單。因為y代表單位時間里抵達(dá)的飛機(jī)數(shù)，ζ表示每兩架飛機(jī)間隔的時間，因此ζ=1/y;則出租車的等待時間

在這樣的情況下，令f（x）>0，可得x<（I）

表示在出租車司機(jī)觀察到x>yr/r的情況下，如果此時“蓄車池”里的車輛數(shù)x和抵達(dá)的航班數(shù)量y滿足如上關(guān)系式的話，則該司機(jī)應(yīng)選擇排隊等待;反之則選擇放空返回。

綜上所述，根據(jù)以上模型的定量分析，可構(gòu)建出出租車司機(jī)的決策模型，司機(jī)可根據(jù)觀察到的x和y來做出選擇。

（二）問題二：“上車點(diǎn)”最優(yōu)數(shù)量模型

首先，假定乘客到達(dá)“乘車區(qū)”的時間服從參數(shù)為λ的泊松分布，并按時間大小依次排列。假定出租車到達(dá)“蓄車池”的時間服從參數(shù)為λ的泊松分布，并按時間大小依次排列。

假定到達(dá)“乘車區(qū)”的乘客共有n人，將其分為若干組，保證每組有n人后，多余乘客歸為一組。每組乘客可同時上車。

然后，開始對模型的分析：

對于第i組乘客，如果第i組乘客在第i-1組乘客上車后到達(dá)，即 ），那么第i組乘客進(jìn)入上車點(diǎn)的時間：

上車點(diǎn)的空閑時間：

如果第i組乘客在第i-1組乘客上車后到達(dá)，即

，那么第i組乘客進(jìn)入上車點(diǎn)的時間：

第i組乘客結(jié)束排隊的時間：

第i組乘客在隊伍中排隊的時間：

第i組乘客排隊的全部時間：

每組乘客的平均等待時間：

客等車的效率：

車等客的效率：

當(dāng)乘客到達(dá)“乘車區(qū)”的時間服從參數(shù)為λ的泊松分布，出租車到達(dá)“蓄車池”的時間服從參數(shù)為λ的泊松分布時，可以計算在不同的“上車點(diǎn)”數(shù)量情況下的每組乘客平均等待時間、客等車的效率、車等客的效率，進(jìn)而做出最優(yōu)決策。

存在n，使得當(dāng)n=n時，每組乘客平均等待時間t盡可能小，并使客等車的效率η，車等客的效率η：處于合理范圍。為直觀表述模型結(jié)論，現(xiàn)假定數(shù)據(jù)：

最后得出的“上車點(diǎn)”數(shù)量與每組乘客平均等待時間 客等車的效率η，車等客的效率η的關(guān)系。

基本可以得出結(jié)論，當(dāng)“上車點(diǎn)”數(shù)量n為20時，客等車的效率η處于較大水平，而每組乘客平均等待時間

處于較小水平，機(jī)場就可以選擇這一點(diǎn)作為建立“上車點(diǎn)”的最優(yōu)配置。

（三）問題三：出租車的調(diào)度方案模型

首先將所有乘車點(diǎn)按距離由近及遠(yuǎn)分為四組P、P、P、P，機(jī)場通過大數(shù)據(jù)調(diào)查，可以得知乘客們的乘坐距離，從而將其由近及遠(yuǎn)平均地歸為四組。為了使出租車司機(jī)們的收益盡量均衡，我們的目標(biāo)是以一天為單位，假定平均每個司機(jī)一天接7單，在一天里讓每個司機(jī)每單的公里數(shù)盡量相同。

根據(jù)圖論，我們可以將我們的方案圖轉(zhuǎn)換為矩陣D=

由此，D中的每個元素a，j表示出租車司機(jī)起始在P接客點(diǎn)，經(jīng)過K次接客后到達(dá)P接客點(diǎn)，且其中的接客方法有a，j條。

其中

，通過枚舉每一條路徑，我們可以得出矩陣中這8組司機(jī)平均每單走的公里數(shù)：

以P為起點(diǎn)P為終點(diǎn)

以P為起點(diǎn)P為終點(diǎn)（與以P為起點(diǎn)P為終點(diǎn)相同）

以P為起點(diǎn)P為終點(diǎn)

以P為起點(diǎn)P為終點(diǎn)（與以P為起點(diǎn)P為終點(diǎn)相同）

以P為起點(diǎn)P為終點(diǎn)

以P為起點(diǎn)P為終點(diǎn)

作為機(jī)場方面，為了統(tǒng)籌規(guī)劃的方便及有效，最簡潔的做法是只對每天的第一批接客司機(jī)進(jìn)行規(guī)劃，于是我們將上面的ABCDE加權(quán)獲得等式：

在如上等式下，不論司機(jī)每天如何接單，一天的總收益是一致的。而得出的一組S，S，S，S的關(guān)系式，即為機(jī)場提供了劃分乘車點(diǎn)所代表的乘車距離的依據(jù)。

機(jī)場方面可以在如上模型下抽樣收集起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)不同的八組出租車司機(jī)的日收益，把收益從小到大排序，通過基尼系數(shù)的公式 驗證該方法的有效性。[G代表基尼系數(shù)，Y代表第i組司機(jī)總收入占全部司機(jī)總收入的比例，P代表第i組司機(jī)人數(shù)占全部司機(jī)人數(shù)的比重，（∑P）代表累積到第i組的司機(jī)人數(shù)占全體司機(jī)人數(shù)的比重]

作者簡介：

李昊楠，朱天逸，單吉琪，上海外國語大學(xué)國際金融貿(mào)易學(xué)院，上海。