拋物線在全國卷高考小題中的案例分析

徐興濤

摘 要：拋物線是圓錐曲線中的重要類型之一，拋物線的定義、性質又是高考中經常考查的重點和難點，而在小題中出現的頻率很高，因此本文借助高考真題，從拋物線焦點弦長、性質、與三角形和圓的綜合運用及與平面向量的結合等方面進行案例分析。

關鍵詞：拋物線;焦點弦;圓;三角形;平面向量

一、焦點弦性質的應用。

（1）我們清楚若直線為過焦點，傾斜角為θ，交于A，B的弦長為|AB|=x1+x2+p;

如例題1（2017.全國卷Ⅰ.10.）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

如圖1所示，

，當時取得“=”，從而得到正確選項A。

（2）在（1）的基礎上得到面積，如圖2，，

所以，

如例題（2014.全國卷Ⅱ10.）設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（ ）

A. B. C. D.

得到面積為，選D

（3）以焦點弦為直徑的圓與準線相切。

如例題（2018.全國卷Ⅲ.16）已知點M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點.若∠AMB=90°，則k=________.

方法一：如圖3所示，以焦點弦AB為直徑的圓與準線相切，根據拋物線的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質，取AB的中點為N，可得MN為梯形APQB的中位線，。

又|MN|在x軸上的投影為|KH|，|MK|=|NH|=1，則，所以，即可得到，解得k=2。

方法二：由方法一得到MN為梯形APQB的中位線，設A（x1，y1），B（x1，x2），則，根據，得到y12-y22=4x1-4x2，即。方法二采用點差法進行求解，從代數角度解決弦中點問題。

二、拋物線的定義及性質與幾何圖形的綜合運用。

（1）拋物線的定義與三角形相似比的綜合運用。

平面幾何中三角形、平行四邊形等圖形的幾何性質與平面解析幾何融合考查是高考中的一熱點，體現知識的綜合性，對知識進行整合，從而靈活運用，如三角形中的平行問題或三角形的相似問題在高考題中考查頻率比較高。

如（2014.全國卷Ⅰ.10.）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若，則|QF|=

A. B. C.3 D.2

如圖4所示，過Q作QH⊥l，則QH/x軸，根據，得到，即可得到，解得，根據定義

選C。

又如（2017.全國卷Ⅱ.16）16.已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=? ? ? ?.

如圖5所示，作MH垂直于準線于H，交y軸于K，則，得到三角形相似，對應邊成比例，，解得|KM|=1，所以|MF|+|KM|+2=3，|FN|=6

通過兩題可以看出，這兩題極為相似，可以說屬于同一道題，考查拋物線的定義及三角形相似問題進行求解，比較起代數法求解，更加簡潔，運算不再復雜，得分率將會提升?？碱}中會借助中位線、相似比、平行線中的同位角及內錯角進行綜合。

（2）拋物線的定義及性質與圓的綜合運用。

考題中會綜合圓的性質、垂徑定理、圓冪定理等圓的相關知識，需要緊扣性質進行運算。

如（2016.全國卷Ⅰ.10）以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點.已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點到準線的距離為

A.2 B.4 C.6 D.8

如圖6所示，設A（x，），解得，根據半徑，由勾股定理得到

，即有

解得p=4，根據p的幾何意義得到B

三、拋物線與平面向量的結合。

我們知道，平面向量是連接集合與代數的橋梁，平面向量與拋物線的綜合自然是高考中的一熱點，在運算中常伴隨的是線性運算和數量積運算，考慮從代數運算著手。

如（2018.全國卷Ⅰ.8）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=

A.5 B.6 C.7 D.8

如圖7所示，此題考查直線與拋物線相交問題，轉化為代數運算求解設，設直線的方程為，

聯立，解得，，解得，選D。

考題中常常還會三點共線問題，向量垂直等問題，用三角形法則或者平行四邊形法則進行有效轉化，通過線性運算和數量積運算進行求解。

通過以上考題可以看出，小題中解答首先從圖形的幾何性質入手，通過曲線的定義、幾何性質等考點為著眼點，與直線、三角形、四邊形等幾何圖形融合，所以小題中優先通過幾何法進行解答;部分考題還需要考慮從代數運算的角度進行求解。

參考文獻

[1]普通高中課程標準實驗教科書A版數學選修2-1[M].北京：人民教育出版社，2013.