2018年沈陽市中老數學試卷第25題解析

代麗宅

摘要：文章詳細分析了沈陽市中考數學試卷第25題，明確指出其考查的知識點和運用的思想方法，旨在提升學生對壓軸題的解題能力。

關鍵詞：試題分析;解題策略;解題能力

中考是學生參加的第一次具有選拔功能的考試尤其是中考壓軸題，更是具有選拔作用。下面，筆者對2018年沈陽市中考數學第25題給予分析與解答。

一、原題呈現

題目如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y= ax+bx-1經過點A（-2，1）和點B（-l，-1），拋物線C2：y=2x +x+1.動直線x=t與拋物線Ci交于點N，與拋物線C2交于點M。

（1）求拋物線C1的表達式;

（2）直接用含t的代數式表示線段MN的長;

（3）當△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值;

（4）在（3）的條件下，設拋物線C.與y軸交于點P，點M在y軸右側的拋物線C2上，連接AM交y軸于點K，連接KN，在平面內有一點Q，連接KQ和QN，當KQ =1且∠KNQ= ∠BNP時，試直接寫出點Q的坐標。

二、試題分析

沈陽市中考數學試題易、中、難的比例為7：2：1。2018年沈陽市中考數學第25題中考查的知識點有列代數式、解二元一次方程組、解數字系數的一元二次方程、求二次函數的解析式、坐標與圖形位置關系、等腰直角三角形的性質、軸對稱的性質和圖形的變換、圓的定義。應用的數學思想有方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想。考查的數學核心素養包括符號意識、運算能力、數感、空間觀念、幾何直觀和推理能力。

第（1）小題——用待定系數法，通過解二元一次方程組求解，運用的是方程思想。

第（2）小題——用點的坐標表示豎直方向上兩點的距離，運用的是數形結合思想。

第（3）小題——盡管題中給出了直角邊MN，但是仍要分兩種情況討論，再分別根據等腰直角三角形的性質和水平方向上兩點的坐標關系列出含t的方程，進而通過解一元二次方程求解。遇到動態問題，就要注意不同位置要考慮周全，在教學中培養學生運動變化的觀點，才是避免漏解的關鍵。

第（4）小題——進一步以運動變化的視角想出所有合理的情形，盡量準確地畫出圖形，這不僅考查學生的思維嚴密性，對學生的空間想象能力、動手操作能力、邏輯思維能力和分類討論能力的要求也很高。接著，還要結合所畫圖形，找到恰當的著手點，再結合適當的方法去求解，這對學生綜合運用知識的能力、分析問題和解決問題的能力的要求都很高。因此，此題充分體現了“壓軸”的作用。

按照慣例，沈陽市中考壓軸題的后面幾道小題都要求“直接寫出”結果，而大多數問題的結果也并不繁雜，因此準確作圖、大膽猜想，往往就會有意外的收獲。下面，筆者展示幾名學生的解題思路，如圖2～5所示。

當然，僅觀察表面是不能解決全部問題的，關鍵是要挖掘圖中特殊的數量關系和位置關系。例如，此題中的Q3，Q4與Q1，Q2就是兩兩對稱的，只需求出其中一對點，另一對點用求對稱點的方法即可求出，這樣就利用轉化與化歸思想把問題分解了。

那么，接下來先求Q1，Q2，還是先求Q3，Q4呢？其實，直接求哪個點都能求出來，但是位置不規則時不好求解。因此，在有限的考試時間內，在兼顧答整張試卷的前提下，能順利解決這類代數、幾何綜合題的唯一法寶，一定是從特殊的數量關系和位置關系人手。要么利用所發現的全等三角形（如圖3和圖4），要么利用所看出的軸對稱（如圖5），將這道綜合題進一步破解為分散的、基本的知識點，接下來再進行幾何推理或代數運算。

綜上所述，學生的基礎知識要學牢，運算、作圖等基本技能要過關，書寫過程要規范，這樣才能在壓軸題上“保（1）、爭（2）、破解（3）”;勤練習的同時要多思考，學會分析、形成方法最重要，準確作圖、合理猜想找特殊，這樣才能在錯綜復雜的第（4）小題中找出解題思路。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定，義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]劉家良，在觀察與聯想中進行整體建構：2017年天津市中考試卷第25題評析有感[J].中國數學教育（初中版），2018 （10）.