玩轉(zhuǎn)外接球

黃映珊

一、直接法

如果幾何體是正方體、長(zhǎng)方體或直棱柱，則其外接球的球心可直接確定。因?yàn)閷?duì)于正方體或長(zhǎng)方體，其外接球球心在其體對(duì)角線中點(diǎn)的位置，直徑就是體對(duì)角線。而直棱柱，其外接球球心在兩底面的外接圓圓心連線的中點(diǎn)處。

例1（16佛一模）某一簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的外接球的表面積是（ ）

A.13π B.16π

C.25π D.27π

【解析】如圖所示三視圖，可還原成如下幾何體：

二、構(gòu)造法（補(bǔ)形法）

對(duì)于一些垂直關(guān)系比較多，或者比較特殊的椎體，我們可以將其放入長(zhǎng)方體、正方體或直棱柱中，即補(bǔ)形，從而轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體、正方體、直棱柱的外接球。下面主要從常見的兩種補(bǔ)形的幾何體進(jìn)行說(shuō)明：

（1）構(gòu)造正方體（或長(zhǎng)方體）

例2（17佛一模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）

【解析】如圖所示三視圖，可還原成如下三棱錐A-B1C1D1：

例3（17.廣一模）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑。若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）

A.8π B.12π C.20π D.24π

【解析】根據(jù)題意可畫出如左下圖所示模型，并可構(gòu)造成右下圖所示長(zhǎng)方體，PC為外接球直徑，，半徑為，表面積為S球＝4πR2＝20π，選C。

例4已知棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD（四個(gè)面都是正三角形）的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為_____。

【解析】如左圖所示棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD，可構(gòu)造成如右圖所示的正方體，則正方體的邊長(zhǎng)為則外接球直徑為：d＝，半徑為，表面積為S球＝4πR2＝

（2）構(gòu)造直三棱柱

【解析】如下圖所示，三棱柱P-ABC，根據(jù)PC⊥平面ABC，可構(gòu)造成三棱柱ABC-DEP：

例6如圖所示，已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，則多面體E-ABCD的外接球的表面積為（ ）

【解析】如圖，由于∠AEB＝60°，所以并不好構(gòu)造成長(zhǎng)方體或正方體，可構(gòu)造成如下圖所示三棱柱ABE-DCF：

則四棱錐E-ABCD的外接球也是三棱柱ABE-DCF的外接球，球心到兩底面的距離相等，為AD的一半，即OG＝1.由余弦定理可得AB2＝32+32-2×3×3cos60°＝9，所以DC＝AB＝3，△DCF的外接圓半徑為，外接球半徑，易得該外接球表面積為S球＝4πR2＝16π，選C。

三、軸截面法

對(duì)于正棱錐或側(cè)棱長(zhǎng)相等的棱錐，其外接球的球心一定在錐頂點(diǎn)與底面幾何圖形外接圓圓心的連線或其延長(zhǎng)線上。還有正棱柱，選取適當(dāng)?shù)慕孛妫谠撈矫鎯?nèi)求出外接球半徑。該方法的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)尋找外接球的一個(gè)大圓，從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)研究。

例7（16廣一模）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為1，頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球體積為（ ）

【解析】如下圖六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1，軸截面ADD1A1的外接圓就是球的大圓，其半徑即為球的半徑。

易得，AA1＝1，AD＝2，所以，半徑為，體積為，選D。

四、性質(zhì)法

球中小圓圓心與球心的連線與小圓所在平面垂直。因此，球心在過(guò)小圓圓心且垂直于小圓所在平面的直線上。如果能找到多個(gè)這樣的直線，則這些直線的交點(diǎn)，即為球心。因此，對(duì)于不規(guī)則幾何體可以先在各個(gè)面內(nèi)找出平面幾何圖形的外接圓圓心，再過(guò)這些圓心作所在平面的垂線，找到垂線的交點(diǎn)即可。

【解析】如圖所示四邊形ABCD，沿直線AC將△ACD翻折成△ACD’，當(dāng)三棱錐D’-ABC的體積取得最大時(shí)，△AD’C⊥△ABC，

設(shè)O1是△ABC外接圓的圓心，O2是△AD’C外接圓的圓心，O為外接球的球心，則AC是兩圓的公共弦，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，則，且O1E⊥AC，O2E⊥AC，因?yàn)椋矫鍭D’C⊥平面ABC，平面AD’C∩平面ABC＝AC，O1E?平面ABC，所以，O1E⊥平面AD’C。另外，OO2⊥平面AD’C，所以，O1E∥OO2。同理，O2E∥OO1，所以四邊形OO1EO2是邊長(zhǎng)為1的正方形，OO1＝O2E＝1。在Rt△OO1A中，由勾股定理得外接球O的半徑所以外接球表面積為S球＝4πR2＝24π。

例9已知球O被互相垂直的兩個(gè)平面所截，得到兩圓的公共弦AB長(zhǎng)為2，若兩圓的半徑分別為和3，則球O的表面積為______。

【解析】球O被互相垂直的兩個(gè)平面所截，設(shè)兩截面的圓心分別為O1、O2，如圖所示，可得取AB中點(diǎn)C，則BC＝1，O1C⊥AB，O2C⊥AB，易得

另外，OO1⊥O1C，OO2⊥O2C，則四邊形OO1CO2是矩形，所以O(shè)O2＝連接OA，則△OO2A是直角三角形，OA是球O的半徑，OA，所以球O的變面積為S球＝4πR2＝44π。

總之，求多面體的外接球，要特別注意多面體中的線線、線面、面面的垂直關(guān)系，以及多面體有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系。