對“錯位相減法”的重新認識

王美華

關于數列的求和，從最簡單的定義法，分組法到復雜的錯位相減法，裂項相消法，都是日常教學中的基本方法.

近十年的教學一直是按照這樣的步驟和方法進行.但在今年的這一屆學生中有學生對錯位相減法提出新的建議.那是一張很平常的練習題，里面有一個填空題，是關于一個通項是等差數列乘以等比數列的求和即.按照平常思維就按照錯位相減法去解決.但因為當天講了關于裂項相消法的專題，“分式結構”引起了他的思考.于是，他嘗試也去將分成兩項，他成功了.

但因為怕這是一個偶然，于是把常見的錯位相減的題目用兩種方法一起做進行比較.發現這是一個通法，即所有的錯位相減法都可以轉化為裂項相消法.下面舉兩個具體的例子說明用“裂項相消法”去取代“錯位相減法”的妙用.

（1）使用錯位相減法：sn＝a1+a2+…+an即

（2）使用裂項相消法：sn＝a1+a2+…+an

右式通分后與左式對比得到：n＝kn+b-2k

2.對于公比q∈（1，+∞），整式結構.如an＝n·3n，求sn＝a1+a2+…+an

（1）使用錯位相減法：sn＝a1+a2+…+an即

（2）使用裂項相消法：sn＝a1+a2+…+an

從通項an＝n·3n出發

這個裂項的結果也是由待定系數而得到，即令n·3n＝［k（n+1）+b］·3n+1-（kn+b）·3n，

右式通分后與左式對比得到：n＝2kn+2b+3k

歸納上面的兩個實例，可將所有的“錯位相減法”轉化為“裂項相消法”，即

（將右式通分，由待定系數法，解出m，r的值.）

題型二：an＝（kn+b）·cn＝［m（n+1）+r］·cn+1-（mn+r）·cn

（將右式合并，由待定系數法，解出m，r的值.）

對于方法的轉化，有的題目會比原方法簡單，有的題目會比原方法復雜.不管結果怎樣，這種思考的方式得到改變是值得肯定的.這件事讓我明白，學習永遠在路上，教學方法也是永遠在路上.

年復一年的教學，讓很多教師包括我自己人對很多的教學內容理所當然，對基本方法也是慣性思維.這次的發現讓我徹底反思，不管做到怎樣好，我們的教學工作一定有許多地方可以突破和創新.關鍵的問題是我們能否愿意去改變，去沖破思維定勢.不斷去嘗試，才能讓我們的工作充滿激情.