基于自然學(xué)習(xí)設(shè)計理論的數(shù)學(xué)探究課設(shè)計
——以“正方體的展開圖”教學(xué)為例

☉江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 尚穎異

☉江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 虞秀云

本文基于自然學(xué)習(xí)設(shè)計理論的基本觀點，以“正方體的展開圖”教學(xué)為例，根據(jù)該理論下八個教學(xué)環(huán)節(jié)——連接、關(guān)注、想象、告知、練習(xí)、拓展、提煉、表現(xiàn)，加深對新課標(biāo)所強調(diào)的“四基”之一——基本活動經(jīng)驗的理解，探討自然學(xué)習(xí)設(shè)計理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)探究課設(shè)計，供參考.

一、自然學(xué)習(xí)設(shè)計理論概述

自然學(xué)習(xí)設(shè)計（Nature Learning Design）或四元學(xué)習(xí)循環(huán)圈（4MAT Learning Cycle）是基于教學(xué)設(shè)計如何優(yōu)化，由麥克卡錫（Bernice McCaRthy）團隊在30年的研究后取得的成果.其基本觀點是獲得基本活動經(jīng)驗要經(jīng)歷“感受—思考—行動—反思”的基本活動過程，回答為什么（why）、是什么（what）、應(yīng)怎樣（how）、該是否（if）四個基本問題，并由此形成四元學(xué)習(xí)循環(huán)圈.

在課堂教學(xué)設(shè)計實踐中，麥克卡錫將“4MAT”教學(xué)模式劃分為連接—關(guān)注—想象—告知—練習(xí)—拓展—提煉—表現(xiàn)八個教學(xué)環(huán)節(jié)，形成一個完整的學(xué)習(xí)循環(huán)圈.依據(jù)這四個象限和八個環(huán)節(jié)，筆者將教師的角色、主要教學(xué)方法、設(shè)計意圖等歸納一下，如圖1所示.

圖1

二、基于自然學(xué)習(xí)設(shè)計理論的數(shù)學(xué)探究課案例

（一）對教學(xué)內(nèi)容的認識

“正方體的展開圖”選自北師大版教材七年級上冊數(shù)學(xué)第1.2節(jié)“展開與折疊”.學(xué)生通過操作正方體模型，進行展開與折疊的活動體驗，使學(xué)生對正方體的特征的認識更加深刻.在積累基本活動經(jīng)驗的過程中，體會立體圖形與平面圖形的互相轉(zhuǎn)化，尋找展開與折疊規(guī)律，提升學(xué)生探究問題的能力，在問題解決過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理及直觀想象素養(yǎng).

（二）對教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計

1.聯(lián)系生活

從教室中易獲得的粉筆盒入手，創(chuàng)設(shè)如何設(shè)計類似粉筆盒的正方體禮盒的情境，并以正方體紙盒為例，引導(dǎo)學(xué)生思考“正方體有幾個面、幾個頂點、幾條棱”等問題，總結(jié)出正方體的特征為：含有6個面、8個頂點、12條棱，并且總有3條棱、3個面相交于頂點.

設(shè)計意圖：回顧正方體的特征，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)同一頂點處的棱和面的數(shù)量關(guān)系，為尋找正方體的展開與折疊規(guī)律做好鋪墊.

2提出問題

觀察教師用剪刀沿正方體的棱剪開紙盒時“剪開了幾條棱”“面被破壞了嗎”“正方體展開后各個面是如何連接的”.經(jīng)過討論與交流，順利提出“正方體的平面展開圖共有多少種類型”這一問題.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生直觀認識正方體的展開圖，并發(fā)現(xiàn)需要剪開7條棱，確保剩下5條棱連接8個面，才能得到正方體的平面展開圖.

由于剪刀進入課堂的不安全性，以及紙盒剪開后不能二次利用，所以可以采用提前錄制的助學(xué)方式.為了使學(xué)生的探究過程便于操作，課堂探究可采用正方形磁片作為教具，用由6片磁片組成的正方體代替正方體紙盒.兩個學(xué)生為一組，每組均有6個正方形磁片和6×6的方格紙若干張.小組合作，通過拼接、校正（排除重復(fù)圖）、畫圖的分工方式探究正方體的平面展開圖的所有類型，并將展開圖成果畫在格子紙上在黑板上展示出來.

3.大膽猜想

引導(dǎo)學(xué)生沿著不同的棱展開正方體，得到更多的平面展開圖，開展小組合作后學(xué)生找到了正方體若干種不同的平面展開圖.提示學(xué)生經(jīng)過旋轉(zhuǎn)與翻折可發(fā)現(xiàn)正方體部分平面展開圖重復(fù).

設(shè)計意圖：經(jīng)歷“做中學(xué)”的過程，通過猜想與操作，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情得到鼓舞，對正方體展開圖的探究也更有興趣，為后面對正方體展開圖的類型進行分類歸納打下基礎(chǔ).

4.驗證猜想

引導(dǎo)學(xué)生驗證在黑板上展示的其他組同學(xué)的展開圖能否通過折疊還原成原來的正方體.經(jīng)過相互驗證，排除錯誤結(jié)論，在此基礎(chǔ)上教師可以補充說明共有11種展開圖，得到正確的數(shù)量結(jié)論.

設(shè)計意圖：這是一個從“面”到“體”的過程，是展開的逆過程，有利于進一步使學(xué)生感悟展開與折疊的規(guī)律，發(fā)展空間觀念.

5.鞏固新知

經(jīng)過探究得到了如圖2所示的正方體11種平面展開圖，觀察展開圖回答下列問題.

圖2

（1）6個正方形都在同一行能折疊成正方體嗎？

（2）5個正方形在同一行，還有1個正方形在另一行，能折疊成正方體嗎？

（3）4個正方形在同一行，還有2個正方形能在同一行嗎？為什么另外2個正方形不能在同一行？同一行最多幾個正方形？

設(shè)計意圖：通過教師問題的合理設(shè)置，學(xué)生經(jīng)歷一個具有邏輯性的思考過程，總結(jié)出正方體平面展開圖不會出現(xiàn)“一”字型、“7”字型、“田”字型和“凹”字型結(jié)構(gòu)，因為從同一個頂點出發(fā)只能有3條棱、3個面.

圖3

6.合理分類

提問學(xué)生“正方體的展開圖在結(jié)構(gòu)上特點是分為幾層”，促進學(xué)生發(fā)現(xiàn)分類的前提可以是分層.發(fā)現(xiàn)正方體的11種展開圖中有三層的也有兩層的，分為兩大類來研究.

①三層式：有10種，它們又可以分為三類.第一類是第一層1個，第二層4個，第三層1個（1-4-1型），如圖4；第二類是第一層1個，第二層3個，第三層2個（1-3-2型），如圖5；第三類是每層各2個（2-2-2型），如圖6.

圖4

圖5

圖6

圖7

②兩層式：有1種，每層各3個（3-3型），如圖7.

設(shè)計意圖：通過引導(dǎo)學(xué)生分類，學(xué)生會更容易理解正方體平面展開圖的形成過程，從“體”到“形”的基本活動經(jīng)驗積累更加飽滿，直觀想象素養(yǎng)也能得到有效發(fā)展.

7.總結(jié)口訣

根據(jù)兩大類四個小類型，得到正方體展開圖口訣.

中間四個成一行，兩邊各一無規(guī)矩；

三一相連一隨意，二三緊連錯一個；

兩兩相連各錯一，兩排三個一對齊；

一條線上不過四，田七和凹要放棄.

設(shè)計意圖：這一環(huán)節(jié)的意義在于探求新知后對探究結(jié)論進行歸納式記憶，以幫助學(xué)生進行知識整合，為最后“表現(xiàn)”環(huán)節(jié)打下堅實基礎(chǔ).

8.靈活應(yīng)用

課件展示由6個正方形組成的多種平面圖形，判斷哪些能組成正方體，并歸類到相應(yīng)的類型.對于分類錯誤的情況，鼓勵學(xué)生小結(jié)與反思，肯定學(xué)生的表現(xiàn).

設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)的意義在于給予學(xué)生進行知識掌握程度檢驗的機會及表現(xiàn)的平臺，完善學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的完整性，對理解不夠深刻的正方體展開圖類型加以總結(jié)，強化記憶.

（三）對教學(xué)設(shè)計的思考

1.探究目標(biāo)與任務(wù)

自然學(xué)習(xí)設(shè)計理論的第一象限聚焦核心是“為什么”類問題，經(jīng)歷“連接”與“關(guān)注”兩個環(huán)節(jié)，教師作為知識的啟發(fā)者，將學(xué)習(xí)內(nèi)容與生活經(jīng)驗連接起來，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生明確探究目標(biāo)和任務(wù)，根據(jù)正方體展開與折疊的數(shù)學(xué)本質(zhì)進行數(shù)學(xué)探究活動，發(fā)現(xiàn)正方體平面展開圖的種類數(shù)量和分類規(guī)律.

2.探究過程與方法

接下來就進入第二、三象限，聚焦核心是“是什么”與“應(yīng)怎樣”類問題，教師作為引導(dǎo)者，運用講授、探究等多元的教學(xué)方法，致力于把理論化、概念化的新知識傳授給學(xué)生.學(xué)生通過“想象”“告知”“練習(xí)”環(huán)節(jié)獲得基本活動經(jīng)驗，初步理解新知.在觀察展開圖回答問題的過程中促進學(xué)生對新知進行思考，檢驗對知識的掌握度.

3.探究結(jié)論與拓展

完成探究后開展本節(jié)探究課的內(nèi)化與遷移，經(jīng)歷“拓展”環(huán)節(jié)，由教師提供拓展材料，引導(dǎo)學(xué)生對正方體的平面展開圖進行分類，形成自我改進學(xué)習(xí)的能力.接下來進入第四象限，聚焦核心是“該是否”類問題.并在“提煉”與“表現(xiàn)”環(huán)節(jié)中作為鼓勵者，鼓勵學(xué)生將新知識結(jié)合個人的特色與原有的知識進行比較，提煉總結(jié)進行口訣式記憶，充分展示自己的知識掌握情況，分享學(xué)習(xí)的成果，進行反思以達到融會貫通.

三、感悟與啟示

美國著名教育家約翰·杜威提出“從做中學(xué)”的基本原則，強調(diào)個人的主觀能動性、個人的親身體驗及合作探究，這與新課標(biāo)把“獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”作為教育目標(biāo)的理念不謀而合.自然學(xué)習(xí)設(shè)計理論指導(dǎo)下的探究課設(shè)計經(jīng)歷“感受—行動—思考—反思”的認知過程，正是遵循“從做中學(xué)”的原則，把數(shù)學(xué)教學(xué)變成一種充滿情感、富于思考的探索活動，也為數(shù)學(xué)探究課提供了良好的教學(xué)設(shè)計模式.

（一）依托“四個象限、八個環(huán)節(jié)”設(shè)計體系，明確探究課教學(xué)設(shè)計步驟

每一個知識建構(gòu)過程都有一定的科學(xué)認知規(guī)律，依托“連接、關(guān)注、想象、告知、練習(xí)、拓展、提煉、表現(xiàn)”八個環(huán)節(jié)的設(shè)計體系，經(jīng)歷“連接生活經(jīng)驗，關(guān)注知識聯(lián)系—展開直觀想象，操作確認猜想—問題串鞏固操練，分類整合拓展—提煉總結(jié)口訣，表現(xiàn)促進反思”四元象限導(dǎo)向下的學(xué)習(xí)過程，明確每一個教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計依據(jù)和設(shè)計意圖，層次分明，步驟清晰.

（二）重視“大膽猜想、操作確認”教學(xué)環(huán)節(jié)，獲得探究性基本活動經(jīng)驗

開展數(shù)學(xué)探究課，教師不僅要重視引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，更要有意識引發(fā)學(xué)生的幾何直觀意識，從幾何直觀的角度去操作確認.提供學(xué)具（正方形磁力片）的操作過程，符合中學(xué)生的思維特點，把抽象數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化成直觀形象動作思維，將原本枯燥、抽象的內(nèi)容變得生動、簡單，不僅能啟發(fā)學(xué)生拓寬思路，多方位、多角度地獲取多樣化的信息，也能獲得探究性基本活動經(jīng)驗.

（三）遵循“直觀想象、邏輯推理”素養(yǎng)導(dǎo)向，形成幾何探究課基本模式

回看猜想探究正方體平面展開圖的全過程，學(xué)生經(jīng)歷了知識的“再創(chuàng)造”過程，通過暴露學(xué)生在探究過程中的“智慧”與“錯誤”，經(jīng)歷想象的思維過程，引導(dǎo)其關(guān)注“前概念”（正方體的性質(zhì)等）與“科學(xué)概念”（正方體平面展開圖）之間的關(guān)系，論證自己的發(fā)現(xiàn)，驗證猜想的正確性，修正猜想直到獲得正確結(jié)論，實現(xiàn)了在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下發(fā)展其直觀想象和邏輯推理的能力，形成幾何探究課的基本模式.