初中數學“認識封閉”突破策略研究*

☉江蘇省泰興市黃橋初級中學 徐新燕

☉江蘇省泰興市西城初級中學 周小峰

認識封閉現象的存在，已經有不少人對其視而不見，但實際上，認識封閉現象對于數學學科的教學和學習帶來一定的警示意義.“把不會當成不能”“對認識封閉現象的忽視”等，都是當前數學教學工作者和研究者需要解決的困境.無論是對一個問題或者技術的不會，還是將其視為自身能力有限，對于數學教學來講，都需要全面認知，并找到認識封閉現象的認知方法和體系.

一、認識封閉現象的含義

所謂認識封閉現象，主要指針對一個問題，當事者是可以理解并且認知的，但是要解決這樣的問題難以使用已有的知識和理論來突破，由此形成一個認識到實踐的轉化困境，這個過程被稱為認識封閉現象.在認識封閉概念中，不是說能解決或者會解決，而是不具備解決問題的一些必要條件.對于問題解決的辦法，從問題原因剖析的層面看，有許多角度的因素限制.在討論為何會出現認識封閉現象時，我們有必要關注解答問題和解決問題當事人是否具備解決這個問題需要的方法論或者技巧.

主體沒有把握相關數學知識的本質屬性是導致認識封閉的主要原因.數學方法論或者問題都有對應的知識理論，如果沒有把握這個適應的范圍，就不能將正確的數學知識應用于對應正確的問題實踐中.所以要科學把握數學知識的適應范圍極為關鍵，這和數學問題實質性理解和數學問題認識深度有一定聯系.此外，個體缺乏科學研究的精神是比與個體對數學知識的認知深度有關造成“認識封閉”更嚴重的現象，如果不能對一個知識適用的實踐領域有可靠的證據證明，那么就不能給出成功的反駁例子.

二、教師的認識封閉現象

當數學教師為學生評價問題解答的狀況時，需要判定是否存在認識封閉現象.避免因為教師的認識封閉導致學生正確的解答遭到誤解，由此無形中對學生的學習成果產生誤判，進而影響學生對學科的學習積極性.當學生在解答一個相對困難的題目時，若利用自身學習的知識不能解答，這就需要數學教師從自身去尋找原因，是否在題目設計和布置方面欠缺思考，找到產生認識封閉問題的原因.如例1中，題中條件的嚴謹程度導致了“認識封閉”現象的產生.

例1有長為32米的柵欄，想要利用一面墻來圍成一個矩形草坪，若墻的長度不限，設AB=x，當AB為多少米時，草坪的面積最大？是多少？

所以當AB=16時，面積最大，為128平方米.

變式訓練時，教師提出若墻的長度為10米，其他條件不變，草坪面積最大為多少？那么當x=10時，面積最大，為110平方米.

從二次函數角度看，解題思路完全沒有問題，但是條件“利用墻”并沒有規定其中一邊只能為10，還可以如圖2所示圍成草坪，那么這樣草坪的面積就變成110.25，比110大，若題中條件改為靠一面墻圍草坪，就只有第一種情況了.出現這樣的現象在于條件的給出不嚴謹，若學生在解題過程中，思考較多想到了這一點，而教師卻誤判，那么就會產生認識封閉現象.

數學本身就是一個嚴謹的學科，站在學生的角度思考認識封閉現象，教師應當避免這一現象給學生學習數學知識和解決數學問題造成不利影響，進而影響學生的身心健康和是非辨別能力.

認識封閉現象和認識通暢現象是相互對立的.但是不能認為有了認識通暢就能成功抵抗認識封閉，因為無論是否陷入認識封閉境地，都需要當事者對解決問題所需要的知識理論和概念進行重新的、全面的認知.當對知識和理論有了實質上的掌握后，才能獲得打通認識封閉通道的根本辦法.數學學科有自身適應的對象范圍，也包括不適應的，所以，應當以辨證的視角和方法來探究認識封閉和認識暢通，這樣才能從本質上解決問題.要辨證看待認識封閉現象，需要教學者跳出較低的視角范圍，因為認識封閉現象實際上和認識通暢現象有著一定的認識聯系，教學工作者可以通過正、反兩方面的例子來研究認識封閉現象，避免在重復循環的認識模式中再次陷入認識封閉境地.

三、學生的認識封閉現象

“把不能當能”和“把能當不能”是認識封閉現象產生的主要體現.其中，前者主要指的是對一個知識理論的錯誤認識導致當事者認為能夠利用這一知識解決問題的錯誤傾向；后者則是指本來可以使用一種知識或者理論解決現實問題的，但事實上并沒有使用這一知識.

1.“把不能當能”

概念是任何一門知識學科的基礎內容，也是整個知識體系得到有效結合的根本.數學學科也是由多個概念連接的有機體系.各類概念、符號、公式都是構成數學學科的主要部分.因此，每個組成部分都有其自身的邏輯特征.因此，在解題時，學生需要弄清楚每個題目中各個概念、公式之間的聯系，厘清概念間的關系才能成功解題.但是關于認識封閉，也有一方面原因來自于思維錯誤，也就是對數學符號、公式等概念的理解錯誤導致.

例2圖3是一個幾何體的主視圖及左視圖，該幾何體是由n個完全相同的正方體組成的，請問：正方體個數是幾？

大部分學生的答案都如圖4、圖5所示，但也有少數學生給出了圖6中所示幾何體.這道例題不僅考查三視圖相關知識點，還考查幾何體的相關概念及性質，也就是說圖6算不算一個幾何體.根據運動的觀點來看，面動得體，因此至少有一個面是幾何體的公共面，還有內部需要具有空間連通性，圖6是由兩個幾何體組合而成的，并不算作幾何體.此題中將一個不能稱為幾何體的圖形稱為幾何體，脫離幾何體定義，“將不能當能”也是認識封閉的一種.由于數學公式或者概念認知誤區的出現導致對實踐應用范圍的認識錯誤，這也是許多學生認識封閉的一種原因.

2.“把能當不能”

例3某花圃發現盆栽價格與盆栽中花株數有關，每盆植入3株時，平均單株盈利3元，以同樣的栽培條件，若每盆增加1株，平均單株盈利就減少0.5元，要使每盆的盈利達到10元，每盆應該植多少株？

教師讓學生A與B上黑板演示做題過程.

學生A：設每盆花增加x株，則每盆花有（x+3）株，每株盈利（3-0.5x）元，所以（x+3）（3-0.5x）=10，得x=1或x=2，所以每盆植入4或5株.

學生B：設每盆花應植入x株，則9+（x-3）（3-0.5x）=10，得x=4或x=5.

這時有些學生就會認為學生B是錯誤的，這就產生了“把能當做不能”的認識封閉現象.他們認為方程9+（x-3）（3-0.5x）=10中（x-3）與（3-0.5x）中的x含義不同，（x-3）中的x表示的是每盆應植入的株數，而（3-0.5x）中的x表示的是每盆應增加的株數，這是因為學生A的答案造成的定式思維，認為（3-0.5x）就應該表示單株花的平均盈利，但學生B的方程中（3-0.5x）其實表示的是增加盈利平均到增加的x-3 株花的單株花的平均盈利，若式子列成學生就易理解了.

作為教師，應當注重認識封閉對學生學習帶來的不良影響.但是最終提醒我們的是，當前的考試模式已經不再適用新時代的教學需要.在學習成果的檢驗中，我們基本上都是應用考試的辦法讓學生和教師產生知識的交流，但是由于雙方的思維不可直接接觸，教師要完全弄清楚學生的思維和想法存在一定難度，所以對于學生的思維，教師在不能表述和理解的同時，也不能故意去抹殺.可以考慮改變以往的封閉式考試模式，提倡和鼓勵面對面問答的形式讓學生參與考試，避免教師陷入認識封閉境地.

四、總結

盡管有時教師在認識封閉現象中對學生的學習成果有所影響，但是這一問題若能及時被意識到，并正視問題，直面認識封閉現象，這就是數學教學工作者需要具備的科學精神和態度.無論是學生還是教師，都容易陷入認識封閉區域，因此都需要及時認知到這一點，從而認真對待.對此我們可以知道，對于任何一個學科來講，教學的嚴謹和科學精神都會經歷一系列挑戰，這其中包括認識封閉.所以，教師唯有堅持研究“認識封閉”，終將以自己的科學態度戰勝認識封閉，迎來教學認識的突破.