問題引領重思維，情理交融提素養
——以“折疊問題中的勾股定理”教學為例

☉廣東省深圳市光明區馬山頭學校 韋麗云

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養.作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的理性思維和創新能力方面不可替代的作用.”

折疊是初中幾何圖形常見的一種變換方式，折疊問題是學習了勾股定理之后的常見題型，但學生往往對這類題比較畏懼，究其原因，一是對折疊的本質理解不透徹，二是缺乏抽象建模的意識和能力.為此，本人在教學完北師大版數學教材八年級上冊第一章“勾股定理”之后，設計了一節探究課“折疊問題中的勾股定理”，選取以矩形為背景的幾個折疊問題進行研究，讓學生經歷“折—畫—探—悟”的過程，既是鞏固勾股定理的應用，同時希望學生通過本節課的學習，獲得解決折疊問題的經驗，培養解決問題的能力，實現數學素養的提升.

一、教學活動簡述

1.活動探究，直觀感知

活動1：如圖1，給你一張矩形的紙片，把它做一次折疊，你會得到哪些不同的圖形？你發現在折成的圖形中，有哪些相等的線段和角？與同桌交流一下.

教學說明：通過一個開放性的活動，創設學生之間合作交流的情境，激發學生的學習興趣，增強學生對折疊問題的感性認識.學生通過動手和觀察，發現折疊問題最本質的特性：折疊具有全等性，對應線段相等，對應角相等，為后面的探究學習奠定基礎.

活動2：分組活動，請按要求一次折疊矩形紙片，并畫出折疊后的幾何圖形，各組派一名代表把得到的圖形畫在黑板上.

第一組：使矩形的頂點B的對應點B′落在邊AD上（如圖2）；

第二組：使矩形的頂點B的對應點B′落在對角線AC上（如圖3）；

第三組：將矩形ABCD沿對角線AC折疊（如圖4）；

第四組：使矩形的頂點B的對應點B′恰好與點D重合（如圖5）.

教學說明：課前根據座位把學生分成4個大組12個小組，讓學生按大組領任務，然后小組合作，動手操作，先折疊出形狀，再畫出幾何圖形，經歷一次由直觀到抽象的過程.學生分組完成任務，既讓每個小組成員有參與的機會，體驗了動手的過程，同時節約了時間，提高了效率.此次完成的幾個圖形，是幾個特殊位置的折疊圖形，也是本節課要重點研究的幾個圖形.

2.問題導航，思維建構

在這些圖形中，可以提出哪些數學問題？怎樣求解呢？

（1）簡單圖形，直接應用.

問題1：如圖6，將矩形ABCD沿AE折疊，使點B的對應點B′落在邊AD上.若AB=6，AD=8，你能求出圖中哪些線段的長度？

教學說明：圖6是折疊問題中最簡單的一個圖形，從一個起點低、入口寬的圖形入手，幫助學生樹立學習的信心.通過觀察和思考，學生發現，利用折疊的性質及勾股定理，這個圖形中所有線段的長度都能求出來！結論如下：

（2）圖形變式，間接應用.

問題2：如圖7，將矩形ABCD沿AE折疊，使點B的對應點B′落在對角線AC上.若AB=6，AD=8，你能否求出圖中所有線段的長度？

教學說明：在問題1的基礎上進行圖形變式，并提出問題“當點B的對應點B′落在對角線AC上時，是否能求出圖中所有線段的長度”，充分激發了學生的求知欲望.根據前面的經驗，學生容易得出CD=AB′=AB=6，BC=AD=8，AC=10，B′C=10-6=4等結論.而對于BE、B′E、CE、AE這幾條線段的長度，需要把未知的線段轉化到Rt△B′EC中，利用勾股定理建立方程，雖然經過教師引導和提示后，學生才找到問題的解決方案，但是，在探究這個問題的過程中，學生體會到了用數的方法解決形的問題的好處，對數形結合思想和方程思想有了理性的思考，思維能力和數學素養得到了提升.

解題過程如下：設BE=B′E=x，則CE=8-x.

在Rt△B′EC中，42+x2=（8-x）2.

解得x=3.

（3）建立模型，拓展應用.

問題3：如圖8，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B的對應點為點B′.

（1）請判斷△ACE的形狀；

（2）若AB=6，AD=8，請求出△ACE的面積.

教學說明：在問題2的基礎上繼續進行圖形的變式，提出的問題既是對前面所獲得經驗和方法的強化，也是對知識應用的補充.因為要判斷△ACE的形狀，注意力需從研究線段轉移到研究角的相等關系上來.判斷完三角形的形狀之后，利用問題2中的方程模型可以求出DE和AE的長度，進而求出三角形的面積.

解題主要步驟：設DE=x，則AE=CE=8-x.

在Rt△ECD中，62+x2=（8-x）2.

（4）復雜圖形，構造應用.

問題4：如圖9，將矩形ABCD沿EF折疊，使點B的對應點B′恰好與點D重合.若AB=6，AD=8，求折痕EF的長.

教學說明：問題4設計了一個具有挑戰性的問題，不僅考查學生對前面建立的數學模型靈活應用的情況，而且考驗學生是否具有開拓進取的精神.根據前面的解題經驗，可以求出圖中除EF之外的所有線段的長度，想求出EF的長度，只需構造出Rt△EGF，便可應用勾股定理解決問題，但學生未必想得到.前面建立的數學模型是解決此題的關鍵.在圖形變化的同時，求解問題的跳躍度大，沒有給學生設置提示和鋪墊性的問題，學生不容易發現此題與前面幾個問題的關聯，因此，要留給學生充分討論、探究的時間.

過點E作EG⊥BC于點G.

3.歸納總結，提升素養

通過本節課的學習，你有哪些收獲？請從核心知識、數學思想、方法策略幾個方面進行歸納，同時請同學們對自己一節課的學習過程進行回顧小結，并寫一句激勵自己的話.請把相應的內容填寫到數學思維課堂自我評價表里.（附：數學思維課堂自我評價表）

表1 數學思維課堂自我評價表

在學生完成數學思維課堂自我評價表的填寫之后，教師再引導學生進行總結提升，形成以下的結構框圖（如圖10）.

圖10

教學說明：歸納總結環節必須在學生深度思考的基礎上，教師再引導學生進行總結提升，總結評價要體現全面性、客觀性，具有激勵性.為此，我們編印了《數學思維課堂自我評價手冊》，學生每節課對應完成一個自我評價表.這樣的歸納總結，真正體現了學生是學習的主人，使獲得知識、培養能力、提升素養落到實處.

二、教學反思

本節課的設計以活動引領問題，把問題作為思維的載體.學生學習經歷了“折—畫—探—悟”的過程，整節課可以分為以下四個環節：簡單圖形，直接應用→圖形變式，間接應用→建立模型，拓展應用→復雜圖形，構造應用.

首先提出“在折疊得到的圖形中，可以提出哪些數學問題，進行怎樣的求解”這樣一個承上啟下的問題，引發學生的思考，使學生由活動狀態過渡到思維狀態.接著，把整節課的學習內容通過四個問題呈現出來.問題1，從一個簡單圖形入手，“對于指定的圖形和條件，你能求出圖中哪些線段的長度？”問題解決的途徑可以看作折疊性質和勾股定理的直接應用.問題2，“圖形變化后，你是否能求出圖中所有線段的長度”，這個問題需要把未知的兩條線段轉化到同一個直角三角形中，利用勾股定理建立方程來求解，是定理的間接應用.問題3，“圖形再發生變化，請判斷△ACE的形狀并求其面積”，此問依然需借助圖2中的方程模型，欲求三角形的面積，可以先借助方程模型求出線段長度，然后求出面積，是定理的拓展應用.問題4，“在第四個圖形中，求出折痕EF的長”，解決這個問題需要學生發現圖中的方程模型，并自己構造直角三角形，對學生思維層次的要求更高，是定理的構造應用.這四個問題看似彼此獨立，實則相互關聯，環環相扣，由淺入深，逐層遞進，引領著學生的思維一步步向縱深處發展.在解決問題的過程中，注重數學思想方法的滲透和數學模型的建構，充分落實了數學抽象、數學建模、邏輯推理等核心素養.

希臘哲學家、教育家蘇格拉底說過：“教育不是灌輸，而是點燃火焰.”課堂教學應該是教師點燃學生追求真理思想的火焰.因此，本節課立足于構建既有溫度又有深度的數學課堂，讓學生的智慧之花在課堂綻放.首先，創設了輕松的學習氛圍，給學生創造了合作交流的機會，在探究的過程中注重激發學生的求知欲，培養學生的開拓意識和創新精神，讓學生在不斷解決問題中體會到成功的喜悅.“提興趣—促交流—樹信心—激欲望—助挑戰”這樣一條情感主線在課堂上靜靜流淌，對學生情感態度價值觀的引導落到了實處.本節課從思維和情感兩個維度去構建數學課堂，情理交融，注重培養學生濃厚的數學學習興趣和良好的數學思維品質，促進學生生動活潑、富于個性地學習成長.

三、結語

張奠宙先生說，數學的表現形式比較枯燥，給人一種冰冷的感覺.但是數學思考卻是火熱的、生動活潑的.如何點燃和激起學生的火熱思考，能夠欣賞數學冰冷的美麗，實在是數學教育的一項根本任務.進入到初中階段的學習后，數學冰冷的美麗讓不少孩子望而卻步，過早被分化出來，迷失在學習的起跑線上.讓數學的理性散發出溫暖的光芒，讓數學課堂充滿著生機和靈動，讓每一個孩子在數學課堂上都找到一個屬于自己的支點，這就是培養學生思維的課堂，也是落實核心素養的課堂.為此，筆者進行了多年的探索和實踐，并取得了一些成績，所教班級學生學習興趣濃厚，思維活躍，在期末統考和中考中，各項優秀指標均遙遙領先于同類班級.今后，“重思維，育素養”將會繼續成為筆者數學課堂教學的方向.