問題促發思維，復習水到渠成
——“一元二次方程的復習”的教學與設計

☉浙江省寧波市海曙區田莘耕中學 姚立婧

章末復習課作為一章的結尾，必須促成學生思維的自發點，讓學生自己梳理知識框架，自然地整理本章所要掌握的知識點、需要解決的主要問題、滲透的思想方法，以及自我存在的問題等，這樣才能改變以往復習課中以“練”帶“引”、以“題”帶“思”的常規復習方式，讓復習水到渠成.本文以“一元二次方程的復習”為例，聚焦問題引領，探索復習課的自然生成.

一、課例呈現

環節1：引入課題

活動1：出現題目“一元二次方程的復習”（PPT）.

師：同學們，數學是思維的體操，而思維是由質疑和問題開始的，大家看這張PPT，猜測一下老師會從哪里入手來復習一元二次方程？

生：（齊）一元二次方程的定義.

師：那定義是？

生：（齊）①方程兩邊都是整式；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數是2.

環節2：鞏固一元二次方程的定義

活動2：請結合定義將下面不完整的題目設計完整.

下列方程中是一元二次方程的是（）.

師：結合定義觀察，哪些是一元二次方程？若不是，請說明理由.

生1：A不是，等式的右邊是分式，不符合定義.

生2：B不是，方程展開后為x2+6x+8=x2，x2左、右兩邊抵消，所以是一元一次方程.

生3：C是.

生4：我反對，C沒有明確a是否為0，因此不能確定.

師：（追問）那b、c呢？

生：（歸納）判定一個方程是否是一元二次方程，要根據定義，特別要注意二次項系數a≠0，與b、c的值無關.

師：能在D選項補充一個一元二次方程嗎？

話音剛落，學生相繼舉手，教師請其中的四名上黑板寫出他們的一元二次方程.四個一元二次方程分別是：①x2=1；②；③2x2+6x=1；④x2+x+1=0.

環節3：鞏固一元二次方程的解法

活動3：選擇合適的方法完成上述四個方程.

四個學生繼續解答自己所列方程，其余學生同時完成這四個方程.

師：（追問）你選擇什么方法解這個方程？

生：（歸納）①是形如x2=a（a≠0）的方程，用直接開方法；②是形如A·B=0的方程，用因式分解法；③可以化成二次項系數是1的一元二次方程，然后用配方法，也可以用公式法，公式法是“萬能方法”；④可用配方法，得出，無解.

師生細細聆聽，個別學生訂正修改.

師：實際上是通過“降次”的方法，把一元二次方程轉化為一元一次方程來求解.

師：（追問）對于④，不解方程，能否判定它無解？

生5：可以.用根的判別式Δ.Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0，無解.

師：你能概括根的判別式和一元二次方程的根的關系嗎？

生6：b2-4ac＞0?方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數根；

b2-4ac=0?方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數根；

b2-4ac＜0?方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根.

生7：一元二次方程的根與系數也有關系：

如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，那么

教師滿意地點頭，同時指出生7所說的內容是書本上的選學內容，學有余力的學生可以嘗試掌握！

環節4：鞏固一元二次方程的根的判別式與根的關系

活動4：嘗試用一元二次方程的根的判別式與根的關系編一道試題.

學生紛紛嘗試，來黑板上展示他們編寫的試題.以下選取有代表性的試題：

①4x2-4x+3=0（不解方程求方程根的情況）；

②x2-（k+3）x+k=0的根的情況；

③kx2+2x-1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.

④若α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的兩根，則的值是多少？

教師驚喜于學生的表現，他們出的試題涵蓋了這個知識點的方方面面.

師：大家出的試題很棒！現在請大家說一說以上四題的解題思路及注意點.

生8：①②③差不多，只要算一下根的判別式“Δ”就行.對于④，先把通分，得到然后用公式就能算出答案.

生9：③有陷阱，要分類討論：k=0，k≠0.

生10：③雖然有陷阱，但這個題不用分類討論，因為題目已經指出“有兩個不相等的實數根”，所以它肯定是一元二次方程，因此k≠0.

師：（追問）能否把這個題改編一下，讓它需要分類討論？

生11：只要把③中“有兩個不相等的實數根”改成“有實數根”就行.

師：限于時間關系，課堂上就不完成具體解答了，請同學們課后完成解答過程.

環節5：鞏固一元二次方程的應用

活動5：數學源于生活又服務于生活，那么一元二次方程又能幫助我們解決怎樣的實際問題呢？

生12：銷售問題，增長率問題，面積問題，動點問題……

師：你能用一元二次方程編一個實際應用問題嗎？

學生再次嘗試，合作完成此題，以下選取一組有代表性的試題：

增長率問題：華為手機發展迅速，憑借著強大的科研能力和全面發展的戰略，目前已經穩坐手機廠商第一的位置，據統計，2017年底銷售量為2億臺，預測到2019年底，銷售量可以達到2.88億臺，求平均每年的增長率是多少.

銷售問題：某商場銷售一批華為手機，平均每天可出售30臺，每臺賺500元，為擴大銷售，增加盈利，盡量減少庫存，商場決定降價銷售，如果每臺手機每降100元，商場平均每天可多售2臺，若商場平均每天要賺8800元，手機應降價多少元？

面積問題：為了配合新款的華為手機，外包裝廠重新生產了它的盒子.現準備在一張長40cm、寬25cm的長方形硬紙板上，裁去角上四個小正方形之后，折成如圖所示的無蓋紙盒（蓋子另外設計，圖略）.若紙盒的底面積是450cm2，則紙盒的高是多少？

教師再次肯定學生的實際應用能力，歸納：問題情境—建立模型—模型解答—回歸實際情境.

環節6：梳理一元二次方程知識脈絡

活動6：嘗試整理本章的知識框架.

學生歸納、補充整理得到整章的思維導圖.

二、課例反思

怎樣的問題引領才能促成學生思維的觸發點？

1.問題的設計建立在學生原認知的基礎之上.

“問題是數學的心臟，有了問題，思維才有方向；有了問題，思維才有動力.”因此，如何設計問題對數學教學的展開和數學思維的促發有極其重要的意義.

活動1中，教師出示課題“一元二次方程的復習”引發學生思考，基于學生對本單元復習的疑問點，以學生的真實問題為目標引領，回顧一元二次方程的概念，由問而思，引發學生的思維發展，激發學生的問題意識.

活動2中，教師創設基于學生思考空間的問題情境，學生通過對一元二次方程定義的深刻理解，分享自己的解題經驗，暴露自己的解題障礙，在一問一答及辨析中凸顯問題的矛盾點，再一次深刻理解一元二次方程的定義，并就自己的理解列出符合定義的一元二次方程.學生親歷知識形成的內在聯系及蘊含的數學思想方法，體現了數學課程標準中“觀察—理解—辨析—建構”的認知過程.

2.問題的驅動設置在學生的“最近發展區”

問題能驅動學生思維，引導學生主動而有深度地學習，因此問題設計應始終以學生為本，設置的起點應在學生的最近發展區.

活動3以活動2為起點，順應學生思維發展，打破常規復習課先復習知識點后解題的復習策略，變“被動”為“主動”，激發學生的復習欲，讓復習課成為學生知識內化、方法再建、思維提升的平臺.

活動4在掌握一元二次方程的基本解法的基礎上，充分提升學生現有的水平，在學生的最近發展區幫助他們解決認知矛盾，促使學生的問題向已有水平轉化，把知識、經驗與問題解決進行有效對接，在教學過程中回溯學生的探究原因，不斷升華學生的最近發展區，并最終構建成完善的知識體系.

數學問題解決最終目的是學生能靈活運用已有的數學知識和方法解決生活實際問題.活動5就是讓學生聯系實際，繼續開放性地引導學生自己提出問題，同伴解決問題.這種編擬問題的成就感會觸動學生的深度思考，放逐思維的空間，最終達成既定的教學目標.

建構主義認為：知識的獲得在于學習者本身能否根據自身經驗去建構對自己有用的知識體系，而不取決于施教者講授的內容.本節介紹的章末復習課，更多地關注學生如何“學”、如何“思”，關注學生自己鉆研、領悟和感受的過程，讓學生在親歷親為中，享受問題促發思維、理解真知的快感.