立足數學建構，提高復習效率
——以“27.2相似三角形（復習課第1課時）”為例

☉湖北省利川市教學研究和教師培訓中心 羅仁義

復習教學難，復習教學的整體設計更難.在新授課時，由于受教學時間的限制，我們不得不將數學整體知識拆分成幾個甚至十幾個課時進行教學，而學生在這一段時間內學習的數學知識是零散的，缺乏系統性.為了克服新授課時的弊端，復習教學必須及時，復習教學必須統籌設計.如果復習教學能使學生整體把握所學知識，建立學生自己的數學認知結構，那么，這樣的復習教學一定能夠提高復習的效率.本文以利川市團堡初級中學龔志老師執教的“27.2相似三角形（復習課第1課時）”為例，與同行探討基于建構論的初中數學復習教學方法.

一、教學過程

1.復習引入

師生活動：

（1）構建知識框圖（本課以對比表和對比圖的方式給出）.

表1

（2）在知識框圖的基礎上，引導學生回顧和梳理知識點.

（3）學生結合圖表，敘述相似三角形判定定理.

（4）引導學生對知識進行回顧和梳理，回答不了的請看書后再回答.

教學點評：

（1）知識框圖由師生共同較快給出，讓學生從新的角度整體感知本節的知識點，避免知識的簡單重復，幫助學生建立數學認知結構.

（2）通過全等三角形和相似三角形的對比，引導學生對知識進行回顧和梳理，復習相似三角形的定義、判定及性質，比較新、舊知識的異同，促成新、舊知識間的正遷移.讓學生從記憶中提取知識，回答不了的看書后再回答，進一步理解、記憶相似三角形的相關知識.

2.問題探究

問題1：如圖2，要使△ABC與△ACD相似，需補充的條件是_________（只要寫出一種）.

師生活動：

（1）分析：已有∠A=∠A，要使△ABC與△ACD相似，可以添加一角相等或夾這角的兩邊對應成比例.

（2）提問：怎樣添加與角有關的條件使三角形相似？怎樣添加與邊有關的條件使三角形相似？

（3）師生交流思考過程.

（4）學生獨立思考添加的條件及解題依據.

教學點評：

（1）教師引導學生回顧已學知識，幫助學生復習三角形相似的判定方法，形成新的數學認知結構.

（2）學生經歷思考和解決開放問題的過程，逐步領會解決開放型問題的方法.

問題2：如圖3，一條直線分別與△ABC的邊AB和AC交于點D和E，請添加一個條件，使△ABC與△ADE相似，有幾種添法？并說明理由.

師生活動：

（1）類比問題1的學習方法，引導學生分別從角和邊的角度添加條件，使兩三角形相似.

（2）學生先思考，然后小組討論，最后小組展示.

（3）學生回答添加的條件和證明的依據，教師做相應的點評和小結.

教學點評：

（1）解決問題2時，讓學生再次對復習的知識進行回顧，有利于進一步鞏固復習的知識.

（2）類比問題1分析問題2，找到添加不同的條件使三角形相似的多種方法，復習三角形相似的判定方法.引導學生利用多種方法判定三角形相似，體會方法的多樣性，培養學生的發散思維能力.

3.典型例題

例1在△ABC中，D、E分別是AB、AC反向延長線上的點，BC∥DE，求證：AB·AE=AC·AD.

師生活動：

（1）審題.分析題目中的已知條件和隱含條件，明確要求解答的問題.

（2）厘清解題思路.師生互動共同歸納：要證明AB·AE=AC·AD，先把等積式變為比例式.要證明比例式，就是要證明三角形相似，而由平行可以得到三角形相似.

（3）寫出解題過程.學生獨立完成例1的解答，教師根據學生展示的解題過程，逐步規范解題格式.

（4）反思并總結解題方法.

教學點評：

（1）鞏固由平行得到三角形相似的判定方法，由三角形相似的性質得到對應線段成比例等知識點.

（2）師生共同分析，讓學生知道由已知條件獲取有用信息的方法，引導學生體會根據結論步步逆推，直至所需條件能與題中已知條件建立聯系的思維方法，進而獲得解題的思路，培養學生的逆向思維能力.

（3）教師根據學生展示的解題過程，規范解題的書寫格式，為學生后面的學習做示范.

（4）根據解決問題的一般過程，引導學生反思本題的解題過程，培養學生的思維品質，養成良好的解題習慣.

例2如圖5，D為△ABC內一點，E為△ABC外一點，且∠1=∠2，∠3=∠4.求證：

師生活動：

（1）學生舉手回答證明第（1）問.

（2）對于第（2）問，引導學生先找∠ABC=∠DBE，再找夾這個角的兩邊對應成比例，從而證明三角形相似.

（3）學生寫出證明過程.

教學點評：

（1）在例1的基礎上，調動學生學習的主動性，讓學生體會證明“旋轉型”三角形相似的方法，復習三角形相似的判定和性質.

（2）證明第（1）問的條件容易找到，證明第（2）問的條件較難發現.證明第（2）問要利用證明第（1）問所得對應線段的比例式，交換兩內項（或外項）得到新的對應線段的比例式，這也是在證明相似三角形的過程中尋找條件時常用的方法.例2的難度逐漸加大，讓學生“跳一跳，摘到桃”，激發學生的學習熱情.

例3如圖6，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高.

（1）圖中有幾個直角三角形？

（2）圖中有哪幾對相似三角形？找出其中一對并加以證明；

（3）若AB=10cm，BC=4cm，求BD的長.

師生活動：

（1）先由學生參照例1和例2，分析本題的解題思路，然后由學生獨立完成，再由小組交流，最后由學生代表展示解題步驟.教師在此過程中注意引導.

（2）在此題中，教師要注意強調相似三角形對應的頂點要寫在對應的位置.

教學點評：

（1）進一步訓練證明三角形相似的思路和方法，提高學生分析和解決問題的能力.

（2）利用三角形相似的知識解決數學問題，體現知識的應用價值.

（3）回顧解題思路，總結解題方法，提升分析問題和解決問題的能力.

4.課堂監測：

如圖7，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點，且BP=1，D為AC上一點，∠APD=60°.

（2）求CD的長.

教學點評：

學生獨立完成，檢查復習效果，為復習課第2課時的教學做鋪墊.

5.課堂小結

師生活動：你學到了什么？

（1）說說三角形相似的判定和性質.

（2）你是如何找出并證明兩個三角形相似的？

（3）說說幾種相似的基本圖形，并說說如何運用相似三角形的判斷和性質解決問題.

（4）談談解決問題的主要步驟有哪些.

教學點評：

通過對相似三角形知識的再次梳理，有利于學生的認知結構呈螺旋式結構發展；通過對解題思路的分析和敘述，有利于培養學生的邏輯思維和推理論證能力；通過對解題方法和過程的回憶，有利于學生積累解決問題的方法；通過對解題步驟的歸納和總結，有利于培養學生分析問題和解決問題的能力.

二、教學立意的進一步闡釋

1.基于數學認知結構，積極引導學生建構

如何上好數學復習課？這是教師一直感到困惑的教學問題，原因在于很容易把復習課上成“炒現飯”式的簡單重復課，這樣的課學生覺得淡而無味，教師也感到毫無新意，更重要的是難以達到“鞏固提高”的復習教學目標.本課的教學設計，特別是“復習引入”部分基于建構教學理論的設計，讓我們看到了復習教學的有效途徑和策略——教師從新、舊知識間的區別和聯系入手，基于建構的教學設計，這樣的復習課具有了新的內涵；學生從整體出發自主復習已學知識，進一步理解知識的本質，這樣的復習課具有了新的意義；學生從新的角度去比較和思考已學知識，建立自己的數學認知結構，這樣的復習課具有了新的高度.

2.注重復習的及時性，提高學生數學素養

當新學知識積累到一定量的時候，有計劃地組織復習教學是必須的，按認知理論的觀點，復習應貫穿于學習過程的始終.本節課是“27.2相似三角形”的復習課，通過相似三角形與全等三角形相關知識的對比，巧妙地促成了知識間的正遷移，既復習了三角形相似的判定和性質，又進一步鞏固了三角形全等的相關知識.學生先后學習的知識得以重新建構，有利于優化學生的數學認知結構，從而提高學生的數學素養.

3.引導反思解題過程，力爭做到舉一反三

在典型例題的教學中，重點強調解題的思路和方法.分析思路時，除綜合分析方法外，直觀猜想、逆向分析、合情推理等也是行之有效的分析方法，能培養學生數學思維的品質.問題解決后，引導學生回顧解題過程，讓學生總結和體會解題的一般步驟：審清題意—分析解題的思路—寫出解題過程—反思并總結解題方法，體現了解決問題的一般規律.