初中數學“分式”復習的有效探索

☉江蘇省無錫市江南中學 陸曉冬

在掌握整式運算與因式分解的基礎上，我們又學習了分式，對代數式有了更深的認識與理解.初中數學中的“數與式”包括5部分：有理數、實數、整式、分式和二次根式，分式是其中的一部分.后繼學習用到分式的不多，只有反比例函數中有少許應用.中考中分式是必考內容，尤其是分式的化簡求值常作為解答題出現.

一、基礎知識回顧

基礎知識即學習中最基本、最常用的知識，它簡單實用、容易記住，也是最重要的知識，“萬丈高樓從地起”，只有把基礎知識打牢，才能更好地擴展和運用.當然，初中數學的基礎知識，在教材中都用加粗的黑體字寫出.它包括一些基本概念和運算法則.本次在回顧時，把其中關鍵詞空出來，希望學生在填空的同時引起注意.

（1）一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有______，那么式子叫作分式.

（3）分式的基本性質：分式的分子與分母乘（或除以）同一個______的整式，分式的值不變.

（4）根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的______約去，叫作分式的約分.

（5）分子與分母沒有______的分式，叫作最簡分式.

（6）根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式化成與原來的分式相等的______的分式，叫作分式的通分.

（7）取分母的所有因式的______的積作公分母，叫作最簡公分母.

（8）分式乘分式，用分子的積作為積的______，分母的積作為積的______.

（9）分式除以分式，把除式的分子、分母______后，與被除式相乘.

（10）分式的乘方要把分子、分母分別______.

（11）同分母分式相加減，分母______，把分子相加減；異分母分式相加減，先______，變為______的分式，再加減.

（12）一般地，當n是正整數時，a-n=______（a≠0）.這就是說，a-n是an的______.

（13）小于1的正數可以用科學記數法表示為______的形式，其中1≤a＜10，n是正整數.

（14）______中含未知數的方程叫作分式方程.

（15）解分式方程的基本思路是將分式方程化為______，具體做法是“______”，即方程的兩邊乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般方法.

（16）將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值______，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.

二、考點解密

“分式”這一章的知識點比較多，我從近幾年各地中考數學試卷中，選取了其中考查分式的典型考題作為例題，通過考點的布列與展示，使學生進一步梳理知識，明白哪些是中考的考點，中考是如何考查的，通過例題的講解與評注，使學生進一步厘清其中的易混點、易錯點、關鍵點及重點問題的通性、通法，幫助學生進一步理解與掌握知識，提高對“分式”這一章重要考點的認識.它可以分為分式與分式方程兩大部分的內容.

考點精講（一）分式

考點1：分式的定義

分式的定義是整個分式這一章知識的起源，只有弄清了這個概念，才能去界定其他概念.

例1下列式子是分式的是（）.

解析：的分母是數，不含字母，屬于整式，的分母中含有字母，屬于分式，故選C.

評注：一個代數式是否是分式，關鍵看分母，若分母中有字母，那么它就是分式，特別地，中的π雖然是一個希臘字母，但它表示圓周率3.1415926……，是一個確定的無理數，故不是分式.π在代數式中出現，都表示圓周率，是一個數.

考點2：分式為0的條件

分式為0的條件，是中考考查的熱點問題，因為它連帶考查了分式有意義的條件：分母不為0，它常與絕對值或平方差公式結合在一起.

例2若分式的值為0，則x的值是（）.

A.1 B.-1 C.±1 D.2

解析：由分式，得|x|-1=0，x+1≠0，解得x=1.故選A.

評注：分式的值為0的條件是：分子為0且分母不為0.也就是說，在分式為0的時候，不能忘記使分式有意義，若分式無意義，分式的值為0還有什么意義呢？ 所以分式的值為0的兩個條件，必須同時滿足，缺一不可.

考點3：分式的值

分式的值就是把字母的值代入后求得的具體數值，它在中考中出現的形式比較靈活，可以與方程結合，也可以與有理數的除法法則結合.

例3若a2-ab=0，則=（）.

解析：a2-ab=0，則a（a-b）=0，則a=0或a=b.當a=0時，；當a=b時.故選C.

評注：根據有理數乘法法則，當ab=0時，必有a=0或b=0；根據有理數除法示則，當時，必有或當時，必有

考點4：分式的化簡求值

分式的化簡求值，就是將分式化為最簡分式或整式，然后將字母的值代入求值.它是中考考查的高頻點，因為它綜合考查了因式分解、數與式的運算，同時是化歸思想的一種體現.

例4化簡分式：并從1、2、3、4這四個數中取一個合適的數作為x的值代入求值.

解析：先化簡分式，即：原式=

由x2-4≠0，x-3≠0，x2-4x+4≠0，得x≠2，x≠-2且x≠3，則可取x=1代入，得原式=3.

評注：在分式的化簡求值問題中，先化簡再求值，分式化簡其實就是分式的通分、約分和因式分解的綜合運用，加減運算運用通分，乘除運算運用約分，在確定最簡公分母和確定公因式時運用因式分解.選擇合適的值代入，不是任意選擇，而是選擇不會使分母為0的值代入.

考點精講（二）分式方程

考點1：分式方程的解

分式方程的解，就是使分式左、右兩邊相等的未知數的值，這樣的問題，對于分式方程來說是個難點，因為它要求先解一個含字母系數的分式方程，在解方程時，把字母看作已知數，只有x是未知數，然后對分式方程的解進行討論.這樣的問題，綜合了分式方程的解法、分式方程的解、一元一次不等式的解法等知識.

例1已知關于x的分式方程的解是非負數，那么a的取值范圍是（）.

A.a＞1 B.a≥1 C.a≥1且a≠9 D.a≤1

解析：解分式方程，得x=

則a的取值范圍為：a≥1且a≠9，故選C.

評注：此類題解答的一般步驟是：解分式方程，根據條件建立不等式且分母不為0；解不等式確定字母的取值范圍.解分式方程時，按解分式方程的一般步驟進行；建立不等式時要同時考慮分母不為0.

考點2：分式方程的增根

分式方程的增根，是指使最簡公分母為0的根，這樣的根，對于分式方程來說，是增根，所以它不能代入分式方程，對于分式方程去分母后的整式方程來說，它是整式方程的根，所以它可以代入去分母后的整式方程，因此這樣的根仍然很有用.

例2關于x的分式方程

有增根，則m的值為______.

解析：方程兩邊都乘（x-1），得7x+5（x-1）=2m-1.

由原方程有增根，得最簡公分母（x-1）=0，解得x=1.

當x=1 時，7=2m-1，解得m=4，所以m 的值為4.

評注：增根問題可按如下步驟求解：（1）讓最簡公分母為0確定增根；（2）化分式方程為整式方程；（3）把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.

考點3：分式方程的應用

方程是從現實世界中抽象出來的一種數學模型，分式方程也是如此，所以實際生活中的一些問題可以運用列分式方程解決.這也是學習分式方程解法的目的之一.

例3用A、B兩種機器人搬運大米，A型機器人比B型機器人每小時多搬運20袋大米，A型機器人搬運700袋大米與B型機器人搬運500袋大米所用時間相等.求A、B型機器人每小時分別搬運多少袋大米.

解析：設A型機器人每小時搬大米x袋，則B型機器人每小時搬運（x-20）袋.

解這個方程，得x=70.

經檢驗，x=70是方程的解，所以x-20=50.

答：A型機器人每小時搬運大米70袋，B型機器人每小時搬運50袋.

評注：列方程解應用題一般步驟為：審題、設未知數、列方程、解方程、作答.其中的關鍵是找到等量關系.題目中的數量關系比較多，每個數量關系只能用一次，即列代數式用過的，列方程時就不能再用了.

三、復習建議

在本章知識中，“類比”和“轉化”的數學思想貫穿其中，類比分數理解分式，遇除法轉化為乘法，遇異分母轉化為同分母，遇分式方程轉化為整式方程.在理解的基礎上，關鍵在于計算的訓練，本章的重點是分式的運算與解分式方程，應抓住核心知識進行訓練，通過訓練形成技能，通過做練習在手的動作上留下記憶.計算始終是數學學習的重點，而馬虎是計算的大忌，所以認真、細致復習是本章內容的又一關鍵.