反思探究升華思維，歸納猜想凸顯本質
——兼談中考復習的習題教學

☉浙江省新昌縣南瑞實驗學校 張建國

數學中考復習的習題教學一直是備受教師關注、值得研究的一個課題，怎樣才能在習題教學課堂中做到既能復習所學的知識，掌握中考所關注的知識點，又能激發學生探究的熱情，開闊學生的解題思路，提高學生的解題技能呢？這需要我們不斷嘗試思考和實踐.本文以一道以一次函數與反比例函數圖像為背景設計的代數與幾何的綜合題為例，談談在習題的探究過程中，如何引導學生學會從不同的視角來反思問題的解決過程，抓住問題的本質，進而實現解題效益的最大化.

一、典型問題解析

（2017年廣東深圳）如圖1，一次函數y=kx+b與反比例函數（x＞0）交于點A（2，4）、B（a，1），與x軸、y軸分別交于點C、D.

（2）求證AD=BC.

解析：（1）將點A的坐標代入反比例函數（x＞0），可得m=8.

（2）由（1）的結論可求出C、D兩點的坐標為（10，0）、（0，5）.

分別過點A、B作AE⊥y軸于點E，BF⊥x軸于點F，如圖2，所以點E（0，4）、F（8，0）.

AE=2，DE=1，BF=1，CF=2.

二、反思與猜想

第（1）問主要考查用待定系數法確定函數的解析式，從中我們不難發現：當函數解析式中含有一個待定字母時，需要知道函數圖像上一個點的坐標，含有兩個待定字母時，則需要知道兩個點的坐標，這樣可以轉化為一元一次方程或二元一次方程組解決問題.

對于第（2）問，從計算過程中我們可以發現AE=CF=2，DE=BF=1，又∠AED=∠CFB=90°，顯然△CFB，所以AD=CB，根據等量代換我們可以進一步推理得到：AC=BD.

一位數學家曾說過：學之道在于“悟”，可見在數學學習過程中，學生的反思對于理解與掌握數學知識非常重要而且是必需的.只有通過反思，學生的思維才能真正啟動，思想才能得到升華，問題才能得到深化，經過推理與猜想，才能把問題從特殊到一般進行推廣.本題是以具體的一次函數圖像——直線與反比例函數圖像——雙曲線相交創設的一個數形結合問題情境中探究線段之間的相等關系的數學問題，解題的過程中體現出的解題思路是先確定函數的解析式，進而確定直線與x軸、y軸的交點及與反比例函數的交點的坐標，通過定量計算x軸、y軸上的線段CF、DE的長度和平行于y軸、x軸的線段BF、AE的長度，再借助勾股定理求得線段AD、BC的長度來證明的.辨證唯物主義告訴我們：人認識事物的過程，是從具體到抽象，從個別特殊到一般，然后又用這一般的、共性的東西去研究新的個別的、特殊的事物，從而補充、豐富和發展對這種共同的本質的認識.任何特殊都包含著一般，一般存在于每一特殊之中.一般與特殊的這種辨證關系啟示我們，解題應當善于對問題從具體的、個別的入手獲得問題的結論和解決問題的方法，然后在其基礎上推廣猜想一般的結論，并進行推理，證明猜想的正確性.

由此我們能否將上述特殊問題——引例的結論，進行推廣猜想：一般的，一次函數y=kx+b的圖像（直線）與反比例函數的圖像的兩個交點及與x軸、y軸的交點所構成的線段之間是否同樣具有上述關系呢？下面我們再來探究如下一個命題，學生便可以一目了然，給出肯定的回答.

（2017年江蘇徐州）如圖3，直線l交x軸于點C，交y軸于點D，與反比例函數的圖像交于A、E兩點，AG⊥x軸于點G，S△AOG=3.

（1）求k的值；

（2）求證AD=CE；

（3）如圖4，若點E為平行四邊形OABC的對角線AC的中點，求平行四邊形OABC的面積.

解析：（1）設點A的坐標為（x，y）.

（2）思路1：證明兩條線段相等，通常可以借助三角形全等來解決，我們不妨構造包含AD、CE在內的兩個三角形，然后證明兩個三角形全等.為此分別過A、E兩點作y軸、x軸的垂線，垂足分別為點H、F，便可以獲得Rt△DHA、Rt△EFC，如圖5所示，下面證明這兩個三角形全等.

解法1：因為反比例函數的解析式為，設點A的橫坐標為a，則其縱坐標為.

解法2：以上同解法1，令y=0，可得點C的坐標為（a+e，0），則CF=a+e-e=a.而AH=a，則AH=CF.又∠DHA=∠EFC=90°，∠DAH=∠ECF，則△DHA△EFC，則AD=CE.

思路2：借助中間媒介——a=b，b=c，則a=c來證明.

如圖6，過點E作y軸的垂線，垂足為點H，交AG于點F，連接GH.

思路3：利用比例線段證明線段相等——若則a=b.

如圖7，分別過A、E兩點作y軸、x軸的垂線，垂足分別為點N、K，兩垂線相交于點M，再過點E作y軸的垂線EH，垂足為點H，交AG于點F.

由反比例函數k的幾何意義可知：

S矩形ONAG=S矩形OHEK=6，則S矩形HNAF=S矩形FEKG.則AN·AF=FE·EK.又AF=ME，FE=AM，則AN·ME=AM·EK，即

（3）解法1：由AG∥OD，可知

由點E是AC的中點，得CE=AE.

結合（2）的結論AD=CE，得AC=2AD.

則CG=2OG.又△ACG與△AOG等高，則S△ACG=2S△AOG=6.

則S△AOC=S△ACG+S△AOG=9.

又平行四邊形OABC的對角線把平行四邊形分成兩個全等的三角形，則S平行四邊形OABC=2S△AOC=18.

解法2：如圖8，連接OB，過點E、B分別作EF⊥x軸、BP⊥x軸，垂足分別為點F、P.

又S△BCP=S△AOG=3，則S△OBC=9.

又平行四邊形OABC的對角線把平行四邊形分成兩個全等的三角形，則S平行四邊形OABC=2S△OBC=18.

解題過程的反思：第（1）問考查學生對反比例函數解析式中k的幾何意義的探究，如圖9，若點P（x0，y0）是反比例函數上任意一點，則有x0·y0=k，即x0與y0的積必是一個定值.過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點M、N，則PM=ON=｜y0｜，PN=OM=｜x0｜.故S△PMO=S△PNO=，此時S矩形PMON=｜x0｜·｜y0｜=｜k｜.這就是說，過雙曲線上任意一點作x軸和y軸的垂線，兩垂線與坐標軸圍成的矩形的面積等于｜k｜，或以該點與垂足、坐標原點為頂點的直角三角形的面積等于｜，這是比例系數k的意義.

第（2）問探究兩條線段相等的問題，常見的證明思路是通過證明三角形全等來證明.思路1為此構造了Rt△DHA、Rt△EFC，容易證明這兩個直角三角形相似，因此只要再證明有一條直角邊相等即可得出兩條線段相等，而說明直角邊相等則利用了解析法，即先用點A、E的坐標求出直線CD的解析式，接著求出點D或點C的坐標，最后借助坐標軸上兩點間距離完成證明.計算量較大，且涉及的字母較多，非一般的計算推理能力所企及，這是本思路一個難以逾越的鴻溝，所以造成多數學生雖有證明全等的欲望，卻半途而廢，形成的思路夭折.

思路2，怎樣想到轉化線段AD、CE使其都與GH發生關系，確是本思路的難點之一，通過說明GH∥CD是第二個難點，利用解析法計算出兩邊對應成比例也是較為棘手的一個方面，所以本思路相對于思路1，學生更加感到困難.從所閱試卷答案來看，沒有發現學生證明的蹤跡.

至于思路3，不少學生想到了通過三角形相似，利用比例線段來證明，但推理路途崩潰，主要原因是沒有構造出適當的相似三角形，沒有巧妙地利用k的幾何意義得出S矩形HNAF=S矩形FEKG，進而得到，造成比例線段中間比不能有效傳遞，思維受阻，同樣這種解法在考生的答卷中，僅有極少數學生獲得成功.從學生的答題情況看，這道題的信度和效度是不盡如人意的.

三、發現結論

由引例1、2我們發現：一次函數的圖像（直線）與反比例函數的圖像的一支的兩個交點，分別到直線與兩坐標軸交點之間的距離相等.由于反比例函數圖像是雙曲線，由此我們不難聯想：任意一條直線與反比例函數圖像的兩支曲線的交點，到與兩坐標軸交點之間的距離是否相等呢？答案是肯定的，證明過程留給讀者完成.

綜合引例1、2的結論及推廣猜想與證明，我們可以歸納出如下一個重要的正確命題：經過反比例函數圖像上兩點的直線與兩坐標軸相交，這兩點到不在同一坐標軸上的交點的距離相等.

四、教學啟示

上面習題的探究過程啟發我們在中考復習的習題教學過程中，應精心挑選一些具有典型性、值得研究的中考試題作為例題，以學生原有的知識和經驗作為新知識的生長點，使設計的問題永遠處于維果斯基提出的“學生最近發展區”.有意識地將原問題拓展延伸，引導學生從簡單的問題入手，通過對數學問題多角度、多層次、多方位的討論和思考，層層推進，不斷揭示問題的本質，并引導學生進行解題后的反思，在學生具有親身感悟的基礎上，進行突出數學本質的提煉和數學思想的概括.使學生在解題中學會解題，強化學生的思維能力，達到解題技能的游刃有余，學會以不變應萬變.進而使學生的認知能力更上一層樓，為全面提升學生的核心素養，實現課堂的有效教學添磚加瓦.