例說添加輔助線的方法
——一道初中幾何題的解法探究

☉湖北省秭歸縣歸州鎮初級中學 向曉琳

在初中數學的學習過程中，尤其是遇到稍難的幾何題時，學生往往不知從何處下手，胡亂添加輔助線，反而使圖形越來越復雜，思維更加堵塞，漸漸地對幾何題敬而遠之.其實，添加輔助線是根據題型來添加，根據條件的特殊性來添加，有時二者可兼顧.下面就具體例子來說明.

一、典例呈現

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，點E是邊AD的中點，一個含45°角的三角板EFG的直角頂點與點E重合，并繞著點E旋轉.EF交BC于點I，EG交DC于點H.

（1）如圖1，A、B、F三點在同一直線上.

①若DH=2，求BF的長；

②連接CG，求證：∠HCG=90°.

（2）如圖2，FG經過點C，若CG=2，求EF的長.

二、解法探究：

（1）①法1：利用三角函數.

設BF=x，則AF=3+x.

由點E是邊AD的中點，得AE=DE=3.

由∠AFE=90°-∠AEF，∠DEH=90°-∠AEF，得∠AFE=∠DEH.

則tan∠AFE=tan∠DEH.

法2：利用相似.

設BF=x，則AF=3+x.

由點E是邊AD的中點，得AE=DE=3.

由∠AFE=90°-∠AEF，∠DEH=90°-∠AEF，得∠AFE=∠DEH.又∠A=∠D，則△AFE△DEH.

②法1：補成K型圖.

如圖3，過點G作GM⊥AD，GM交AD的延長線于點M.

易得∠AFE=∠MEG，∠A=∠M，FE=EG，則△AFE△MEG.則AE=MG=3=CD.

由∠ADC=∠M=90°，得DC∥MG.

則四邊形DCGM是平行四邊形.又∠M=90°，則四邊形DCGM是矩形.

則∠HCG=90°.

法2：構造全等三角形.

如圖4，連接BE、CE.

易知△ABE和△DCE是兩個全等的等腰直角三角形.

則BE=CE，且∠AEB=∠DEC=45°，則∠BEC=90°.則∠BEF+∠CEF=90°.又∠GEC+∠CEF=90°，則∠BEF=∠GEC.

在△FBE和△CEG中，BE=CE，∠BEF=∠GEC，EF=EG，則△FBE△GCE.

則∠ECG=∠EBF=135°.而∠ECH=45°，則∠HCG=90°.

法3：證明三角形相似.

易得∠AFE=∠DEH，則sin∠AFE=sin∠DEH.

（2）法1：如圖5，連接EC，過點C作CQ⊥EG于點Q.

則△CQG是等腰直角三角形.

法2：如圖6，連接CE，過點E作EP⊥FG于點P.

則△EFP和△EGP是兩個全等的等腰直角三角形.

在幾何問題中，輔助線的添加對學生來說并不陌生，在解幾何題時經常用到.若幾何圖形中的某些量之間的位置關系或數量關系比較隱蔽，為了溝通相關量之間的聯系，我們常常要在原圖形中添加輔助線.這樣可以化難為易、化隱為顯.但添加輔助線，要因題而異，雖然變化萬千，而且沒有一個通法可遵循，但一般都能找到一定的規律和常用的方法.只要我們知道添加輔助線的目的，在圖形中構造我們學過的基本模型，然后和模型的特征去比較，就可以利用它們的性質去創造有利的條件，從而使問題得到順利解決.要想熟練掌握添加輔助線的技巧，必須對基本圖形的性質十分熟悉，多動手、動腦，善于聯想，橫向、縱向思維要齊頭并進.

總之，一道幾何題所考查的知識點特別多，它不僅涉及學生所掌握的數學基礎知識、所具有的數學思想和方法，還涉及學生的解題能力，所以教師應該加強解題思維的分析和學習方法的教學，努力提高學生解決問題的能力.