無處不在的軸對稱

☉江蘇省南京師范大學鹽城實驗學校 羅 俊

軸對稱是圖形變換之一，旨在培養(yǎng)學生從運動的角度去觀察、認識圖形.軸對稱有許多重要的性質，如：對稱軸兩旁的圖形全等，對應線段相等，對應角相等；對稱點的連線被對稱軸垂直平分；對應邊若相交，交點一定在對稱軸上，對應邊與對稱軸的夾角相等等.利用軸對稱的這些性質不僅可以解決數學自身的一些問題，而且在實際的生產、生活中也有廣泛的應用，可以說，軸對稱在生活無處不在，隨處可見.

一、利用軸對稱簡化計算

在數與式的混合運算中，簡化計算的方法包括：利用加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律或乘法分配律簡化計算；利用平方差公式或完全平方公式簡化計算；利用分組、拆項、添項簡化計算等.當一列數整齊地排列在一個軸對稱圖形中時，我們也可以利用軸對稱的性質簡化計算.

例1如圖1，放在正方形內的五列數，認真觀察它們的排列規(guī)律，怎樣用簡便的方法計算出它們的和？

分析：正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸.若沿著數字5所在的對角線折疊，發(fā)現在對稱位置上的兩個數之和均為10，這樣就使運算大為簡化.

解：讓正方形沿數字5所在的直線折疊，并讓對稱位置上的數字相加得到圖2，于是所有數字的和等于5×5+10×10=125.

點評：因為正方形是軸對稱圖形，所以沿對稱軸折疊后，對稱軸兩旁的部分能夠互相重合，這是此題能簡便計算的主要原因.

二、利用軸對稱找到最短路線.

兩點之間的最短路徑就是這兩點之間的線段，點到直線的最短路徑就是點到直線的垂線段，平行線間的最短路徑是一條直線上任一點到另一條直線的垂線段.那么一條直線同側的兩個固定點到該直線上一動點的最短路線又如何確定呢？利用軸對稱可以輕松解決.

例2如圖3，OX、OY是兩條公路，在兩條公路夾角的內部有一油庫A，現在想在兩條公路上建兩個加油站，為使運油的油罐車從油庫出發(fā)先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油庫的路程最短，問：兩加油站應如何選址？

分析：上述問題可化為：在銳角XOY內部有一個點A，試作一個三角形，以A為一個頂點，另外兩個頂點分別在OX、OY上，且使其周長最小.

解：如圖3，分別取點A關于OX、OY的對稱點A1、A2.連接A1A2分別交OX、OY于點B、C.則B、C兩點即為加油站的位置.

點評：這里是利用軸對稱化“折”為“直”，將三條線段放在同一直線上.若在OX、OY上另取兩點B1、C1，根據“兩點之間，線段最短”可得：A1A2＜A1B1+B1C1+C1A2.由軸對稱的性質可得：AB+BC+AC＜AB1+B1C1+C1A.

三、利用軸對稱設計圖案

生活中許多精美圖案都是利用圖形變換設計的，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗中間的紫荊花是利用旋轉設計的，三菱汽車的標志是利用旋轉設計的，一汽汽車的標志是利用軸對稱設計的，奧迪汽車的標志是利用平移設計的等.利用軸對稱設計圖案，應首先確定對稱軸，然后沿對稱軸作軸對稱圖形即可.對稱軸選擇的不同，設計出的圖案也會不同.

例3請在下列三個2×2的方格中，各畫出一個三角形，要求所畫三角形是圖中三角形經過軸對稱變換后得到的圖形，且所畫三角形的頂點與方格中的小正方形的頂點重合，并將所畫三角形涂上陰影.（注：所畫的三個圖不能重復）

分析：可選擇不同的直線作為對稱軸，如水平的、豎直的或傾斜的，分別找到三角形三個頂點的對稱點，然后連接即可得到對稱圖形.

解：如圖5所示，以下方案可供選擇.

點評：上述第一個與第三個圖案以大正方形的對角線所在的直線為對稱軸；第二個圖案以大正方形水平中軸線為對稱軸；第四個圖案以下面矩形的水平中軸線為對稱軸；第五個圖案以大正方形豎直中軸線為對稱軸.從這里可以看出，對對稱軸的選擇要靈活，這樣可培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.

四、利用軸對稱確定擊球的方向

臺球運動是一種室內體育運動，已在國際上廣泛流行，主要是用球桿在桌面上擊球，依靠得分的多少來決定比賽的輸贏，臺球與其他球類打法有些不同，如足球、籃球等都是把球直接送進球門或球框，而臺球則要通過擊打母球，然后由母球把目標球送進球洞才能得分，不僅如此，為了能連續(xù)打進球連續(xù)得分，必須在打進一個球之后，考慮母球能否停在理想的位置，以方便接著打下一個球.臺球的打法有直擊、搓球、跳球、反彈等.其中反彈就是將母球先擊中桌面的邊沿兒，母球反彈后擊中目標球，要想實現這個目標，需要用軸對稱確定擊球方向.

例4如圖6，四邊形ABCD是長方形的臺球桌面，有黑、白兩球分別位于F、E兩點的位置，試問：樣撞擊黑球F，才能使黑球先碰撞桌邊DC，反彈后再擊中白球E？

分析：若在桌邊CD放上一面鏡子，則鏡中就有點E的影子E′，只要我們讓黑球F對著影子E′打過去，就能反彈后擊中白球E.這里的點E與點E′關于直線CD對稱.

解：作點E關于直線CD的對稱點E′，連接FE′，與CD的交點P即為撞擊點.

點評：這是軸對稱在打臺球運動中的應用，它為我們擊球確定了方向，當然在實戰(zhàn)中不可能在邊沿放一面鏡子，然后我們對著鏡子里的影子打，但其中的道理學生應該明白，使用反彈擊球時，發(fā)揮空間想象能力，在腦海里作軸對稱，然后對著目標球的對稱點擊球.

五、利用軸對稱構造＂回文＂修辭和對聯(lián)

文學中的“回文”修辭手法，是指把相同的字或詞，在后文中倒過來放置，從而產生正讀與反讀都一樣的效果，如風扇能扇風、奶牛產牛奶、清水池里池水清、霧鎖山頭山鎖霧等.它們就像是一個個軸對稱圖形，距離對稱軸等距離的位置上的字相同.古代還有回文對聯(lián)，如：心清可品茶，茶品可清心；人過大佛寺，寺佛大過人等.原來文學家為了語言的精彩，還借用數學中的軸對稱呢！

例5下列四句話中的文字有三句具有對稱規(guī)律，其中沒有這種規(guī)律的一句是（）.

A.上海自來水來自海上 B.有志者事競成

C.清水池里池水清 D.蜜蜂釀蜂蜜

分析：根據四個選項的特點，分析出與其他三個不同的即為正確選項：A.上海自來水來自海上，可將“水”理解為對稱軸，故A選項具有軸對稱性；B.有志者事競成，五字均不相同，所以不對稱；C.清水池里池水清，可將“里”理解為對稱軸，故本選項具有軸對稱性；D.蜜蜂釀蜂蜜，可將“釀”理解為對稱軸，故本選項具有軸對稱性.故選B.

點評：漢語里的“回文”修辭，就是正著讀與倒著讀是一樣的，如果從數學角度看就是具有軸對稱的規(guī)律.其實，中國的傳統(tǒng)文化——對聯(lián)何嘗不是對稱呢？ 如：“萬瓦千磚百匠造成十佛寺，一舟二櫓四人搖過八仙橋”，數字對數字，事物對事物，對稱美十分和諧；“青山有幸埋忠骨，白鐵無辜鑄佞臣”，“青山”對“白鐵”，“有幸”對“無辜”，“埋忠骨”對“鑄佞臣”.以這樣工整的對稱表達了人民的愛和恨.可見，對稱美在文學方面也有生動、深刻的體現.

從上述事例中，我們可以看到，軸對稱在數學運算、工程選址、臺球運動、美術設計、語言文學等方面有重要的應用，因為軸對稱從美學角度，就給人以平衡的美、勻稱的美，它也符合中國古代建筑設計中的中軸線原則.只要大家在生活中注意留心觀察，其實軸對稱應用的事例遠不止這些.