用待定系數法求解概率遞推關系

衛久鈺

【摘要】用全概率公式求解概率問題常常得到概率遞推關系Pn+1=aPn+b（a≠1，b≠0，1）.本文用待定系數法得出了該概率遞推關系的公式，使用該公式能使該類問題的運算得到簡化.

【關鍵詞】概率;概率遞推關系;待定系數法

若概率{Pn}滿足：Pn+1=aPn+b（a≠1，b≠0，1），設Pn+1+λ=a（Pn+λ），則Pn+1=aPn+（a-1）λ，∴b=（a-1）λ即λ=ba-1，∴Pn+1+ba-1=aPn+ba-1，

所以Pn+1+ba-1為等比數列，首項為P1+ba-1，公比為a.

∴Pn+ba-1=P1+ba-1·an-1，即{Pn}的通項公式為Pn=P1+ba-1·an-1-ba-1.

下面舉例說明該公式的應用.

例1 m個人相互傳球，球從甲開始傳擊，每次傳球時，傳球者等可能地把球傳給其余m-1個人中的任何一個，求第n次傳球時仍由甲傳擊的概率.

解 設事件Ai=“第i次傳球時由甲傳擊”，

記Pi=P（Ai），i=1，2，….

則有P1=1，P（Ai+1|Ai）=0，P（Ai+1|Ai）=1m-1.

由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（Ai+1）·P（An|An-1）=Pn-1×0+（1-Pn-1）·1m-1，

得遞推關系

Pn=11-mPn-1+1m-1，n≥2，

由上述公式可得

Pn=1m1-11-mn-2，n=2，3，….

例2 甲、乙擲擊，兩人輪流擲一顆骰子，甲先擲，每當某人擲擊1點時，則交給對方擲，否則此人繼續擲.試求第n次由甲擲的概率.

解 設事件Ai=“第i次傳球時由甲擲骰子”，

記Pi=P（Ai），i=1，2，….

則有P1=1，P（Ai+1|Ai）=56，P（Ai+1|Ai）=16，

所以由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（An-1）·P（An|An-1），

得遞推關系

Pn=56Pn-1+16（1-Pn-1）=23Pn-1+16，n≥2，

由上述公式可得Pn=121+23n-1，n=2，3，….

例3 甲口袋有1個黑球、2個白球、乙口袋有3個白球，每次從兩口袋中各任取一球，交換后放入另一口袋.求交換幾次后，黑球扔在甲口袋中的概率.

解 設事件Ai=“第i次交換后黑球仍在甲口袋中”，

記Pi=P（Ai），i=0，1，2，….

則有P0=1，P（Ai+1|Ai）=23，P（Ai+1|Ai）=13，

由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（Ai+1）·P（An|An-1）=Pn-1×23+（1-Pn-1）·13，

得遞推關系Pn=13Pn-1+13，n≥1，

由上述公式可得Pn=121+13n，n=1，2，….

例4 假設只考慮天氣的兩種情況：有雨或無雨，若已知今天的天氣情況，明天天氣保持不變的概率為P，變得概率為1-P.設第一天無雨，試求第幾天也無雨的概率.

解 設事件Ai=“第i天也無雨”，

記Pi=P（Ai），i=1，2，….

則有P1=1，P（Ai+1|Ai）=P，P（Ai+1|Ai）=1-P，

由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（Ai+1）·P（An|An-1）=Pn-1·P+（1-Pn-1）·（1-P），

得遞推關系Pn=（2P-1）Pn-1+1-P，n≥2，

由上述公式可得

Pn=12[1+（2P-1）n-1]，n=2，3，….

通過上述例題我們可以看出待定系數法為解決概率遞推問題提供了極大便利.

【參考文獻】

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