初等數(shù)論與代數(shù)課程的教學(xué)

任偉

【摘要】討論怎樣將初等數(shù)論的知識(shí)和高等代數(shù)、抽象代數(shù)課程的教學(xué)結(jié)合起來(lái)，從而幫助學(xué)生克服對(duì)這兩門內(nèi)容抽象的課程的畏難情緒，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.

【關(guān)鍵詞】初等數(shù)論;高等代數(shù);抽象代數(shù)

初等數(shù)論是以一些初等的算術(shù)、組合、代數(shù)、幾何、分析等方法，研究數(shù)論問(wèn)題的分支，在計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)、組合分析、密碼學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)等領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用[1].

高等代數(shù)和抽象代數(shù)（或近世代數(shù)）是本科階段數(shù)學(xué)專業(yè)非常重要的基礎(chǔ)課程.高等代數(shù)課程中要學(xué)習(xí)多項(xiàng)式、行列式、n元向量、矩陣及一般線性空間中的向量和線性變換等.抽象代數(shù)課程是一門研究群、環(huán)、域等代數(shù)結(jié)構(gòu)的課程.這兩門課程內(nèi)容非常形式化.

對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)本科生來(lái)說(shuō)，在大學(xué)一年級(jí)開(kāi)設(shè)高等代數(shù)課，在大學(xué)二、三年級(jí)開(kāi)設(shè)一學(xué)期的抽象代數(shù)課，初等數(shù)論一般作為高年級(jí)學(xué)生的專業(yè)選修課.這樣的課程設(shè)置，正如馮克勤先生所說(shuō)：“新生一上來(lái)就是兩門分量很重的數(shù)學(xué)課（微積分和線性代數(shù)），而且和中學(xué)數(shù)學(xué)的味道很不一樣，不少數(shù)學(xué)很好的中學(xué)生，被這兩條悶棍打暈，有的學(xué)生直到畢業(yè)也沒(méi)有醒過(guò)來(lái)”;“初等數(shù)論是聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)紐帶，使學(xué)生能有一個(gè)過(guò)渡，保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和自信心.到了大三，學(xué)生學(xué)了一大堆高深的數(shù)學(xué)課以后再來(lái)討論整數(shù)，缺乏興奮感”[2].

因此，在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)該適時(shí)地講一些初等數(shù)論的知識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)和抽象代數(shù)課程的興趣.下面，我們就以實(shí)際教學(xué)中對(duì)相關(guān)問(wèn)題的處理為例，淺談如何將初等數(shù)論與代數(shù)課程的教學(xué)結(jié)合起來(lái).

整除理論是初等數(shù)論的重要組成部分之一.設(shè)d，a是整數(shù)，d不等于0.若存在整數(shù)q，使得a=qd，那么，就說(shuō)d整除a，記作d|a，稱d是a的因數(shù)（又稱約數(shù)，除數(shù)）.整除及與其相關(guān)的概念可推廣至整環(huán).在多項(xiàng)式代數(shù)的教學(xué)中，我們可以將相關(guān)的概念做類比.用F[x]表示數(shù)域F上全體一元多項(xiàng)式的集合（稱為F上的一元多項(xiàng)式環(huán)）.對(duì)f（x），g（x）∈F[x]，若有q（x）∈F[x]使得f（x）=q（x）g（x），則稱g（x）是f（x）的因式，又稱g（x）整除f（x）[3].

帶余除法是兩個(gè)整數(shù)相除的一種基本算法，對(duì)于多項(xiàng)式也有類似的帶余除法的概念.輾轉(zhuǎn)相除法是利用帶余數(shù)除法求兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)的一種算法.它最早出現(xiàn)于歐幾里得的《幾何原本》，故又稱歐幾里得算法.很多學(xué)生在中學(xué)階段只學(xué)習(xí)了用短除法求整數(shù)的最大公因數(shù).在學(xué)習(xí)用輾轉(zhuǎn)相除法求多項(xiàng)式的最大公因數(shù)時(shí)，往往會(huì)覺(jué)得其過(guò)程很煩瑣.我們的做法是先通過(guò)具體的整數(shù)，讓學(xué)生熟悉輾轉(zhuǎn)相除法的具體過(guò)程：設(shè)u0大于u1是兩個(gè)正整數(shù).用u1去除u0，若u1不能整除u0，則利用帶余數(shù)除法可得u0=q1u1+u2，0

高斯在《算術(shù)研究》中引入的同余符號(hào)，是整除概念和表示形式的發(fā)展.給定一個(gè)正整數(shù)m，如果兩整數(shù)a和b的差a-b被m整除，就說(shuō)a同余于b模m，b是a對(duì)模m的剩余，記作a≡b（modm），該式稱為模m的同余式.模m的同余是整數(shù)集合上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性.因此，全體整數(shù)可按關(guān)于模m是否同余分類.

在抽象代數(shù)課程中，我們?cè)谝肴旱母拍顣r(shí)可以從初等數(shù)論中列舉一些例子.例如，整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法是一個(gè)阿貝爾群，這使得學(xué)生意識(shí)，從小學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)的加法起，我們就在不自覺(jué)地運(yùn)用群這一抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu);模m的同余類關(guān)于加法也是一個(gè)阿貝爾群;但是這兩個(gè)集合關(guān)于乘法都不能構(gòu)成群.

稱交換環(huán)R的一個(gè)理想P（P≠R）為素理想，若對(duì)R中的元素a，b從ab∈P可以推出a∈P或b∈P[4，5].整數(shù)環(huán)Z中由素?cái)?shù)生成的理想是素理想（也是極大理想）這一例子，可以幫助學(xué)生更好地理解這一概念.若m是素?cái)?shù)時(shí)，由互素的等價(jià)刻畫可知任何一個(gè)非零數(shù)在模m的剩余類中關(guān)于乘法有逆元，從而Z/（m）是一個(gè)域.當(dāng)學(xué)生心目中有一些具體的例子，就能更好地理解群、環(huán)、域的抽象定義、概念和推理.

如何對(duì)高等代數(shù)和抽象代數(shù)課程進(jìn)行教學(xué)，才能使學(xué)生更好地掌握知識(shí)體系和基本方法，促進(jìn)其邏輯思維和抽象思維能力的發(fā)展，是每一位教師應(yīng)該思考的問(wèn)題.從我們的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，一些簡(jiǎn)單、有趣問(wèn)題和例子對(duì)他們的學(xué)習(xí)是大有裨益的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論：第2版[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003.

[2]馮克勤.高校代數(shù)教學(xué)的一些實(shí)踐與思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2006（4）：4-7.

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)：第4版[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1978.

[5]姚慕生.抽象代數(shù)學(xué)：第2版[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1998.