高考圓錐曲線壓軸題的破解策略

張方霞

【摘要】本文主要探討了高考圓錐曲線壓軸題的破解策略.

【關鍵詞】高考;圓錐曲線;壓軸題

一、軌跡問題

軌跡問題是高考中經常出現的一種考查圓錐曲線問題的習題類型.

例如，已知原點O為橢圓C的對稱中心，該橢圓的焦點在x軸上，F1，F2分別是左、右兩個焦點，且|F1F2|=2，點1，32在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程;（2）橢圓C與過左焦點F1的直線l，相交于A，B兩點，若△AF2B的面積為1222，求與直線l相切且以F2為圓心的圓的方程.

解析 （1）由題意知c=1，2a=32+322+22=4，a=2，故橢圓的方程為x24+y23=1.

（2）當直線l與x軸垂直時，可取A-1，-32，B-1，32，△AF2B的面積為3，不符合題意.

當直線l與x軸不垂直的時候，設直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程得

（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，顯然Δ>0成立，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=-8k23+4k2，x1·x2=4k2-123+4k2，

可得|AB|=12（k2+1）3+4k2，

又圓F2的半徑r=2|k|1+k2，

所以△AF2B的面積為

12|AB|r=12|k|k2+13+4k2=1227，

化簡得17k4+k2-18=0，得k=±1，

∴r=2，圓的方程為（x-1）2+y2=2.

二、直線與圓錐曲線位置關系的問題

直線與圓錐曲線位置關系的問題，是高考中關于圓錐曲線問題的重點考查部分.

例如，已知橢圓C：x2+2y2=4.（1）求該橢圓的離心率;（2）設O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關系，并證明你的結論.

解析 （1）根據題目當中的條件，橢圓C的方程為x24+y22=1，所以a2=4，b2=2，c2=a2-b2=4-2=2，

∴e=ca=22.

（2）直線AB與圓x2+y2=2相切，證明如下：

根據題意設點A（x0，y0），B（t，2），其中x0≠0，

因為OA⊥OB，所以OA×OB=0，

即tx0+2y0=0解得t=-2y0x0，

當x0=t時，y0=-t22，代入橢圓C的方程得t=±2，此時直線AB與圓x2+y2=2相切.

當x0≠t時，直線AB的方程為y-2=y0-2x0-t（x-t），

即（y0-2）x-（x0-t）y+2x0-ty0=0，

圓心到直線AB的距離為d=|2x0-ty0|（y0-2）2+（x0-t）2，

又x20+2y20=4，t=-2y0x0，

故d=2x0-2y20x0x20+y20+4y20x20x40+8x20+162x20=2，

故直線AB與圓x2+y2=2相切.

總而言之，在進行高考中圓錐曲線問題解答時，教師要引導學生根據題型進行針對性的解答，從而實現圓錐曲線問題的突破.

【參考文獻】

[1]王歆越.優化圓錐曲線解題過程的有效方式分析[J].散文百家（新語文活頁），2018（9）：151.

[2]彭澤海.圓錐曲線的解題妙法[J].智富時代，2018（9）：227.