高等數學信息化教學模式下微課的實際運用

李海紅 李海霞 呂玉姝

[摘? ? 要] 隨著科技發展的日新月異，信息化教學在高等數學教學過程中實現已成為教學模式的發展趨勢。信息化教學模式中微課的應用對于高等數學教學效果的提高非常有益，它打開了高等數學教學模式的新篇章。

[關鍵詞] 微課;高等數學;信息化;教學

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2019. 17. 085

[中圖分類號] G642? ? [文獻標識碼]? A? ? ? [文章編號]? 1673 - 0194（2019）17- 0217- 03

0? ? ? 引? ? 言

隨著互聯網的高速發展和電子設備的廣泛應用，網絡逐漸成為學生獲取知識的重要途徑，進而傳統教學模式已經很難滿足不同專業的學生的學習專屬需求。而在這種形式下，微課的誕生成為改革傳統教育模式的新力量，成為聯系學生、老師、知識的新的紐帶。高等數學是工科院校非常重要的基礎課，為后續課程的學習提供理論的基礎，其思想和方法對學生終身受用。在高等數學教學中運用微課平臺，對高等數學信息化教學改革具有重要的意義。

1? ? ? 如何在高等數學教學過程中融入微課

1.1? ?應用學習通平臺進行課前預習

在進行高等數學新課教學之前，教師可以利用微課[1-2]將要學的要點，通過PPT或視頻的模式放在平臺上，學生可以應用手機或平板電腦提前預習將要學習的知識。這種方式不僅可以激發學生學習數學的自覺性，也有助于培養他們自主學習的意識。比如，二重積分概念引入時，就可以在微課中，設計曲頂柱體體積問題以及平面薄片質量問題來加深學生對定積分概念的理解。除此之外，對于學生高中階段容易遺忘的內容，如反三角函數以及極坐標等內容也可以利用微課溫習。學生借助手機等電子設備來觀看微課進行預習，可以使學生對將要學習的內容大體有個掌握，進而保證在課堂上有的放矢，從而達到提升課堂效率的目的。

1.2? ?運用微課講授知識點

目前大多數的工科高等院校所選取的高等數學教材分上下冊，包含有十幾個章節，所涉及的知識較多，但所給予的課時相對有限。而每個學生的學習基礎以及學習能力又不盡相同，所以對于課堂上講授的知識，很多的學生都很難做到當天理解和掌握。教師可以通過微課將每一章節所講授的重難點知識做成專題訓練模塊。如在設計函數的極限以及連續等模塊的微課時，可以將函數極限的計算、等價無窮小的概念與兩個重要極限、函數的連續與間斷點以及它的分類等內容放在一個模塊。這樣學生就可以利用課余的時間對微課進行觀看學習，不僅有利于學生對重難點的掌握，而且有利于知識的轉化。

1.3? ?利用微課解答例題

在微課中可以展示學生集中反映的難點及典型例題的相關解法，以此來滿足不同學生的學習要求。我們可以設計典型的例題來歸納函數極限的不同求法，如一元函數極限的不同求法、多元不同類型復合函數求導的方法、運用拉格朗日因子法解決不同類型實際應用的舉例、指數跟不同函數積分的計算方法、不同類型積分上限函數求導、在直角坐標和極坐標形式下計算二重積分、如何運用高斯公式簡化計算第二類曲面積分的方法、如何運用格林公式簡化計算第二類曲線積分的方法、如何判斷正項級數的斂散性等，將這些內容所涉及的典型例題做成微課[3]，上傳到學習通軟件上，學生可以根據自己的薄弱環節反復對其進行學習，加深鞏固對所學知識的理解和運用。

2? ? ? 高等數學教學具體設計——以曲率為例

2.1? ?教學設計分析

首先， 我們明確所教授對象為土木學院機械專業學生， 根據他們的入學成績和以往的學習情況，按照專業分層次教學大綱制定高等數學教學目標。講授課程之前，教師可以在學習通軟件或其他教學平臺發布高等數學教學計劃和提前錄制的相關教學視頻，充分獲取相應的資源進行課前預習;學生也可以利用便利的新興網絡手段提前自主學習相關知識，并通過分組討論共同學習的方式相互討論找尋解決問題的辦法。本次課曲率概念的引入可以從影響曲率的兩個因素出發，一個是切線的轉角，一個是曲線的弧長。 通過動畫讓學生能直觀地感受到這兩個因素對曲率的影響。由此給出平均曲率的概念，并且再回顧導數公式的引出為位置函數的變化率速度，引導學生給出曲線上任意一點曲率的概念。在設定目標之后，我們就要完善相應微課的內容。為了激發學生學習興趣，曲率的概念我們需要通過動畫引出，首先提問學生在弧段長度相同時，彎曲程度跟切線的轉角有什么關系？（這里可以應用學習通的隨機選人功能，答對加分）類似提問學生回答在切線的轉角相同時，彎曲程度跟弧度的長度有什么關系？由影響曲線彎曲程度的這兩個因素，可以得出曲線平均彎曲程度，也就是平均曲率的概念。教師啟發+提示與學生一起類比導數的概念得出曲線上任意一點處曲率的概念，深刻體會極限和導數的思想，激發學生求知欲和培養學習求知精神和成就感。

隨后，教師可以在PPT上給出兩個生活中的實例，直線上任意一點的曲率和圓的曲率，讓學生通過定義可以直接得出結論，可以得到直線上任意點的曲率為零，圓上任意點的曲率相同為半徑的倒數。通過實例同學們也可以發現這與我們的現實是相符合的，直線是不彎曲的，圓的彎曲程度與半徑成反比，半徑越大，彎曲程度越小。

2.2? ?“曲率”知識點微課的具體內容

本課知識點較多且復雜， 動畫演示立體生動，因此，視頻時間初步設定為20分鐘。為達到本節課的教授的教學目標，解決難點，突出重點，我們把教學環節設計為如下幾個階段：

2.2.1? ?根據實際問題創設情境引出課題

為了激勵學生學習興趣，對我們教師而言，在教授過程中我們應盡可能的數學學習與他們的生活聯系起來，讓他們在生活中用探索的眼光認識并掌握數學。所以本節的教學開始，我們從兩個影響曲率的因素分析引出曲率的概念：

在空軍紀念日上，我國空軍組織了規模龐大的飛行表演，其中最令人震撼的是被譽為空中蛟龍的殲十出擊。下面我們看一段視頻，回顧一下當時的精彩場景。在觀看精彩的同時，我們也能深深地體會到飛行員飛行的艱辛和壓力。現在請同學們思考一個問題，假設現在你是一名飛行員駕駛者一架戰斗機先是俯沖向下，然后扶搖向上，飛行的軌跡如視頻展示，你在哪一點處受到的壓力最大？壓力的大小與哪些因素有關？

我們可以發現，在最低處壓力最大，壓力的大小與速度有關，速度越大壓力越大，還跟哪些因素有關呢？引導學生思考，可讓學生舉手搶答，得到還跟飛行的軌跡有關，曲線彎曲程度越大，壓力越大。

實際上，在軍事應用中，為了保證飛行起飛和降落的安全和高效，航空母艦的飛行甲板也是彎曲的。這些都與曲線的彎曲程度有關，由此引出本節課所學內容曲率。

因此我們用單位長度的弧段上的切線轉角的大小來刻畫曲線的彎曲程度，由此引進曲率的概念如下：

2.2.2? ?經典講解例題

隨后，教師可以在PPT上給出兩個生活中的實例，求直線上任意一點的曲率和圓的曲率，讓學生通過定義可以直接得出結論?？梢缘玫浇Y論與我們的直覺“直線不彎曲”相一致.，圓上任意點的曲率相同為半徑的倒數。這與我們的直覺“圓的彎曲程度處處相同，而半徑越小，圓彎曲得越厲害”是一致的。以上給出了曲率的定義式，但是對于更為復雜的曲線，定義式不合時宜，啟發學生如果給出曲線的一般式能否有相應的計算公式呢？如此引出曲率的計算公式。

2.2.3? ?弧微分概念的引出

教師在PPT上動畫給出函數圖像，設x，Δx 為（a，b）內兩個鄰近的點，它們在曲線y=f（x）上的對應點為M，N ，并設對應于x的增量Δx，弧s的增量為Δs（如圖4）于是，有：

2.2.4? ?掌握曲率的計算并進行適當延展

教師精選典型例題發布在學習通上，同時隨機抽點兩名同學到黑板上解答，教師也可隨時檢查學生在學習通上上傳的答案，實時檢驗所學效果。

（1）計算拋物線y=ax2+bx+c上任一點處的曲率，并求出曲率最大處的位置。應用學習通軟件提問曲率最大處在哪兒？ 為頂點處，與現實印象相符，加深學生對曲率概念的理解。

飛行員俯沖飛行在原點可以看成是做瞬時的圓周運動，在原點處對飛行員進行受力分析，受到座椅對他的支持力和自身的重力，由作用力等于反作用力，支持力就等于飛行員對座椅的壓力。物體作圓周轉動所受的向心力F來自哪兒呢？引導學生以小組的方式討論得出結論，并可以派出代表，到黑板上給同學們進行解答。學生解答更能引起學生的關注度，使每個學生能參與到課堂中來，解答好的全小組加平時分獎勵，解答不理想的小組其他成員可以補充，這樣可以充分調動學生的學習積極性。

2.2.5? ?變式延伸進行重構

教師給出開放題目，剛才給出并應用的是直角坐標形式下的曲率的計算公式， 現在如果給出曲線是由參數方程給出的，如何得到計算公式呢？另外教師也可以適當引用一些考研題，適當分析引申題目， 重點突出例題的作用，有利于學生對知識進行的聯系、消化，從而達到舉一反三的效果。

3? ? ? 結? ? 語

為了能夠保證微課在高等數學教學過程中充分發揮出它的積極有效的作用，作為教師首先就得提前并且時時對高等數學中的微課資源進行必要的補充和替換，以此保障學生在學習高等數學時的不同需求。豐富的微課學習能夠讓學生掌握快捷高效的學習方法，也能在體驗參與中愉快地學習。

主要參考文獻

[1]楊雯靖. 基于微課的高等數學教學模式研究[J].開封教育學院學報，2015（10）：118-119.

[2]洪雪芳，莊錫釗. 微課在高等數學信息化教學中的應用[J].科學與信息化，2017（18）：166-167.

[3]左傳桂. 淺論微課在高等數學信息化教學中的應用[J].宿州教育學院學報，2014（6）：24-225.