構造橢圓求解三角形問題

程雷虎

[摘? ?要]構造橢圓，結合極坐標系的知識，可以迅速解決比較復雜的三角形問題，尤其是范圍和面積問題.

[關鍵詞]構造;橢圓;三角形;問題

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0007-02

構造橢圓來解決三角形問題，主要是構造橢圓來證明三角形問題.筆者以2019年某地高三?？既切螁栴}為例，就構造橢圓模型求解三角形問題做一些探討.

一、試題呈現與欣賞

試題1：在銳角[△ABC]中，[BC=2 ，sinB+sinC=2sinA]，則中線[AD]長的取值范圍是___________.

本題是合肥市2019屆高三第一次教學質量檢測題.這道題在解三角形和不等式等知識的交匯處命制，既考查了正弦定理、余弦定理、不等式求解、基本不等式、平面向量等基礎知識及解三角形、求函數最值等基本方法，又考查了數形結合、化歸轉化等數學基本思想.同時考查了學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養，突出了能力立意，彰顯了數學思想方法.此題看起來背景熟悉、平淡無奇，實際上卻內涵豐富，平中見奇.

對此題求解，絕大多數學生用常規解法.

常規解法：設[△ABC]中[∠A，∠B，∠C]所對的邊分別為[a，b，c].依題意知[a=2]，因為[sinB+sinC=2sinA]，由正弦定理得[b+c=2a=4].

因為[△ABC]是銳角三角形，所以[0

由余弦定理得[0

同理， [0

[0

綜上可得，[32

在[△ADB]和[△ADC]中分別由余弦定理得

[cos∠ADB=AD2+1-（4-b）22AD]，[cos∠ADC=AD2+1-b22AD].

又因為[cos∠ADB+cos∠ADC=0]，

所以? [AD=b2-4b+7=（b-2）2+3]，再由[32? ? ? ?

點評：上述求解過程運算量較大，對不等式求解知識要求扎實.此解法運用正余弦定理將角的關系轉化為邊的關系，用余弦定理處理三角形為銳角三角形的條件，求解不等式，得到邊的范圍，最終求得中線的取值范圍.

構造橢圓求解：同常規解法有[b+c=4>a].以[BC]的中點為原點，[BC]所在直線為[x]軸，建立平面直角坐標系，易知點[A]在橢圓[x24+y23=1]上運動.因為對稱性，只研究點[A]在橢圓上半部分的情形.

考慮到三角形為銳角三角形，由橢圓性質知 ， 當點[A]在橢圓上頂點時，[∠A]最大.此時[∠A=60°]，得[AD=3]，此時[AD]最小.當[AC⊥BC]時，點[A]的坐標為[1，32]，此時[AD=132]，所以由題意知? [AD∈3，132] .

點評：此解法運用解析法求出點[A]的軌跡，數形結合獲得簡解.在問題研究的過程中，運用了橢圓焦點三角形的面積公式的變形，即[S=b2?tan∠F1AF22=c?yA]，當面積最大時，[yA]最大，此時點[A]恰好落在橢圓的上頂點處，此時[∠A]也最大.雖然此種解法以前都見過，但是，教師在平時教學，學生在解題時，運用常規解法較多.

試題2：如圖1，[l1]是經過城市[O]與城郊小鎮[A]的東西方向公路，城市[O]與小鎮[A]相距[83 km].[l2]是經過城市[O]的南北方向的公路，現準備在城市[O]的西北區域內選址[P]，建造開發區管委會，并開發三角形區域[PAO]與[PBO].其中，[AB]為計劃修建的經過小鎮[A]和管委會[P]的繞城公路（[B]在[l2]上，且位于城市[O]的正北方向），[PO]為計劃修建的管委會[P]到城市[O]的公路，要求公路[PO]與公路[PA]的總長為16 [km]（即[PO+PA=16]）.設[∠BAO=θ].

（1）記[PA=f（θ）]，求[f（θ）]的函數解析式，并確定[θ]的取值范圍;

（2）當開發的三角形區域[PAO]的面積最大時，求繞城公路[AB]的長.

本題是2019年南師附中、淮陰中學、天一中學、海門中學等四校聯考試題.該題是一道三角函數實際應用題，既考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等變換、函數最值等基本知識，又考查了學生將實際問題數學化的思想方法.下面，筆者介紹本題的構造橢圓求解方法.

此題的求解要用到極坐標方法，為了求解的方便，先介紹如下結論.

【結論】已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦點分別為[F1，F2].

（1）若以左焦點[F1]為極點，射線[F1∞]為極軸建立極坐標系，則橢圓[C]的極坐標方程是：[ρ=eP1-ecosθ]，其中[P]是左焦點到左準線的距離，[e]為離心率.

（2）若以右焦點[F2]為極點，射線[F2∞]為極軸建立極坐標系，則橢圓[C]的極坐標方程是： [ρ=eP1+ecosθ]，其中[P]是右焦點到右準線的距離，[e]為離心率.

下面構造橢圓，對于該題進行求解.

解：（1）由題意知：[AO=83]，[PA+PO=16]為常數，且[PA+PO>AO].

再結合實際情形，所以[P]點在一個橢圓的上半部分上運動.

以[OA]的中點為原點，射線[AO]為[x]軸建立平面直角坐標系，得到點[P]的坐標滿足橢圓[x264+y216=1]，其中[A]、[O]分別為橢圓的左、右焦點.

以點[A]為極點，射線[AO]為極軸建立極坐標系，點[P]的坐標設為[（ρ，θ）]，由題意知，[PA=ρ].由上結論知：[ρ=eP1-ecosθ]，又因為[e=32，P=-43--6443=433]，所以 [ρ=42-3cosθ].

再考慮臨界情形，當點[P]在[l2]上，即[∠POA=90°]時，由橢圓方程知，此時點[P]的坐標為[（43，2）]，得[cosθ=8314=437].

結合實際情況，點[P]位于城市[O]的西北區域內，故有公路[PA]段長關于[θ]的函數解析式為[PA=42-3cosθ]，[θ]的取值范圍為[α，π2]，其中，[0<α<π2]，且[cosα=437].

（2）因為點[P]在橢圓的上半部分運動，由橢圓性質知，當點[P]位于短軸頂點時，[△PAO]的面積最大，此時[PA=PO=8]，且[P]是[AB]的中點，故得繞城公路[AB]的長為[16? km].

點評：極坐標在高考中幾乎年年考查，尤其是[ρ，θ]這兩個量的幾何意義，明顯指向求長度、求夾角問題.該題的構造橢圓解法，利用了極坐標法，尤其是第（2）問避免了繁雜的不等式求解和函數求最值問題，有事半功倍的作用.

二、高考題鏈接

在歷年的高考題中，解三角形問題都是熱點，而在此問題的解答中，絕大多數教師和學生都是從正余弦定理入手，結合不等式知識.實際上，構造橢圓法，對于一類解三角形問題，尤其是面積和取值范圍問題，可以做到“秒殺”.

下面筆者列舉幾道歷年的高考真題，供讀者參考.

高考題1：（2017年理數新課標全國Ⅱ卷）[△ABC]的內角[A，B，C]的對邊分別為[a，b，c]，已知[sin（A+C）=8sin2B2].

（1）求[cosB;]

（2）若[a+c=6]，[△ABC]的面積為2，求[b].

高考題2：（2013年文數浙江卷）在銳角[△ABC]中，內角[A，B，C]的對邊分別為[a，b，c]，且[2asinB=3b].

（1）求角[A]的大小;

（2）若[a=6，b+c=8]，求[△ABC]的面積.

高考題3：（2013年理數江西卷）在[△ABC]中，內角[A，B，C]的對邊分別為[a，b，c]，已知[cosC+（cosA-3sinA）cosB=0].

（1）求角[B]的大小;

（2）若[a+c=1]，求b的取值范圍.

在解題思維結構中，要求教師和學生在平時的教與學中善于挖掘教材中有應用價值的定義、定理、公式、習題等的潛在功能.在高三解題教學中，需要建立廣泛的縱橫聯系，在注重通性、通法，掌握常規的基礎上，要不拘泥于常規，實現創新.在解題的過程中，需要一些非常規的想法，這不僅能使解題效果有事半功倍之效，別具一格，而且對學生創造性思維的培養也具有重要的意義.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

[1]? 張善敏.構造橢圓模型求解三角問題[J].中學生數理化（高二版），2007（6）：30-31.

[2]? 張國治，錢進兵.巧構圓、橢圓妙解高考題[J].數學教學，2014（5）：38-39.

[3]? 支金山.構造橢圓：巧解三角問題的一條有效途徑[J].中學數學雜志，2007（1）：24-27.

（責任編輯 黃桂堅）