一道聯考題研究

虞懿

[摘? ?要]對2018年一道聯考題的立意、解法、題源、拓展和教學啟示等方面做探析、研究，以給教師教學提供參考.

[關鍵詞]聯考題;立意;解法;拓展;研究

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0003-02

數學家奧加涅相說：“必須重視，很多習題潛藏著進一步擴展其數學功能與教育功能的可行性.”筆者通過對一道聯考題的探究，讓大家看到這道聯考題真正的思考價值.同時，也讓大家感受數學探究的樂趣.

一、試題展現

題目：設直線[2x+y-3=0]與拋物線[Γ：y2=8x]交于[A，B]兩點，過[A，B]的圓與拋物線[Γ]交于另外兩點[C，D]，則直線[CD]的斜率[k=]? ? ? ? ? ? ? ? ? .

立意：此題題面簡潔、意境幽深、內涵豐富，可以從多個角度思考求解.本題主要考查拋物線的定義、直線和拋物線的位置關系、四點共圓等知識，旨在考查學生邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養.

二、解法集萃

分析：由提干信息“過[A，B]兩點的圓與拋物線[Γ]交于另外兩點[C，D]”可知，過這兩點的圓的圓心軌跡是線段[AB]的垂直平分線，進而可知此圓不唯一，于是直線[CD]就是動直線，再結合選項特征可知，答案應確定的，即直線[CD]的斜率[k]為定值，于是解決問題的辦法就有了.

解法1：如圖1所示，作點[A，B]關于[x]軸的對稱點[A1，B1]，由對稱性可知[A，A1，B，B1]四點共圓，所以點[A1，B1]即為[D，C]，所以[k=-kAB=2].

評析：“小題巧做”是考試中的常用策略.但考后學生很有必要對問題進行深入思考，小題大做，看看有沒有一般方法.本題的突破口在于如何刻畫四點共圓.如果采取坐標來刻畫的確很繁雜，利用幾何圖形性質是簡化解析問題的重要途徑之一，尋求平面幾何性質來幫助.

解法2：設直線[AB]與直線[CD]交于[P（x0，y0）]，直線[CD]的傾斜角為[α]，則

直線[CD]的參數方程為[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，]（[t]為參數），代入[y2=8x]中得[sin2α?t2+（2y0sinα-8cosα）?t+y02-8x0=0]，

所以[PC?PD=t1?t2=y02-8x0sin2α].若設直線[AB]的傾斜角為[β].同理得[PA?PB=y02-8x0sin2β].因為[A，B，C，D]四點共圓，所以[PA?PB=PC?PD]，即[y02-8x0sin2β=y02-8x0sin2α]，所以[sinβ=sinα].由題意可知[α≠β]，所以[β=π-α]，故[kCD=tanα=-tanβ=-kAB=2].

評析：此解法利用相交弦定理將四點共圓做了等價轉化，同時又借助直線參數方程中參數的幾何意義溝通了傾斜角間的隱性關系繼而獲解.

解法3：設[lCD：y=kx+m]，利用曲線系方程[y2-8x+λ（2x+y-3）（kx-y+m）=0]，即[（1-λ）y2+2kλx2+λ（k-2）xy+（2λm-3kλ+8）x+λ（m+3）y-3mλ=0]，若其表示一個圓，則有[1-λ=2kλ≠0，λ（k-2）=0，]解得[k=2，λ=15.]

評析：該解法簡潔明快，知識綜合運用恰到好處.

三、追本溯源

題源1：（人教[A]版選修4-4“坐標系與參數方程”第38頁例4）如圖2所示，[AB，CD]是中心點為[O]的橢圓的兩條相交弦，交點為[P].兩弦[AB，CD]與橢圓長軸的夾角分別為[∠1，∠2]，且[∠1=∠2].求證：[PA?PB=PC?PD].

本題不僅是一道運用直線參數方程解決線段等積問題的例題，同時本題的解法具有一般性，結論還可做進一步探究和類比推廣.

題源2：（2011年高考大綱卷理科第21題）如圖3所示，已知[O]為坐標原點，[F]為橢圓[C：x2+y22=1]在[y]軸正半軸上的焦點，過[F]且斜率為[-2]的直線[l]與[C]交于[A]、[B]兩點，點[P]滿足[OA+OB+OP=0.]

（Ⅰ）證明：點[P]在C上;

（Ⅱ）設點[P]關于點[O]的對稱點為[Q]，證明：[A]、[P]、[B]、[Q]四點在同一圓上.

從上述聯考題來看，盡管對學生來說要求較高，但是其根源于教材，而又高于教材，對高考備考有很強的引領性.對學生來說，應當回歸課本，切實把握好課本中例題和習題的典范作用;對教師來說，在高考備考教學中的啟示就是進入二輪專題備考階段應當切實做好對教材中例題和習題的變式探究，依綱務本，做到“源于教材，高于教材”，為考題尋得源頭活水來，就可切實做到抓住問題之源，順利解決問題之流（衍生出的問題），對提質增效、活化思維起到事半功倍的作用.

四、引申拓展

解題是一種創造性活動，數學學習中，積累一定的解題經驗對解題過程中快速提取信息是幫助很大的，而引申拓展則是解題經驗自覺積累的有效途徑.

性質1 記拋物線：[y2=2px][（p>0）]上的兩相交弦[AB，CD]的傾斜角分別為[α，β]，則[A]、[B]、[C]、[D]四點共圓的充分必要條件為[α+β=π].

證明可以仿照解法2處理，這里不再贅述.事實上橢圓、雙曲線也有類似性質.

性質2 記橢圓：[x2a2+y2b2=1][（a>b>0）]上的兩相交弦[AB，CD]的傾斜角分別為[α，β]，則[A]、[B]、[C]、[D]四點共圓的充分必要條件為[α+β=π].

證明：設直線[AB]與直線[CD]交于[P（x0，y0）]，則直線[AB]的參數方程為[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，]（[t]為參數），將其代入橢圓方程[x2a2+y2b2=1]中，得[（b2cos2α+a2sin2α）t2][+2（b2x0cosα+a2y0sinα）t+（b2x02+a2y02-a2b2）=0]，由于[b2cos2α+a2sin2α≠0]，且直線[AB]與橢圓有兩個交點，因此方程有兩個根，設為[t1，t2]，則有[PA?PB=t1?t2=t1?t2=b2x02+a2y02-a2b2b2cos2α+a2sin2α].同理可得[PC?PD=b2x02+a2y02-a2b2b2cos2β+a2sin2β].故[A]、[B]、[C]、[D]四點共圓[?PA?PB=PC?PD?][b2x02+a2y02-a2b2b2cos2α+a2sin2α=b2x02+a2y02-a2b2b2cos2β+a2sin2β?][b2（cos2α-cos2β）=a2（sin2β-sin2α）?（a2-b2）（sin2β-sin2α）=0?sinα=sin β]且[α≠β]，[α][β∈（0，π）][?][α+β=π].

性質3 記雙曲線： [x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]上的兩相交弦[AB，CD]的傾斜角分別為[α，β]，則[A]、[B]、[C]、[D]四點共圓的充分必要條件為[α+β=π].（證明仿上）

五、教學啟示

一道數學題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路.在教學中，用多種方法解答同一道數學題，不僅能牢固地掌握和運用所學知識，還能幫助不同程度的學生運用自己的方法去解題.通過一題多解，分析比較，尋找到解題的最佳途徑和方法，這對提高學生數學學習興趣和積極培養學生的創造性思維能力大有益處.在教學中，教師如能回歸基礎，深度解讀教材，在典型問題的引領下，激活學生橫向思維，以學生發展為本，促進動態生成，就一定能提高高三數學教學的效率.這也是當前落實數學核心素養的基本要求.

（責任編輯 黃桂堅）