極端原理在函數最值問題中的應用

雷慧華

【摘 要】極端原理是解決數學問題的重要原理，而函數是中學階段的重難點內容，其中涉及許多與極端原理有關的問題。本文闡述了極端原理含義、并通過具體例子說明極端原理在函數最值中的應用。

【關鍵詞】極端原理;函數;最值問題;應用

一、極端原理的由來與具體內容

何為“極端”？于數學之中即為在滿足題意下的特殊情形，比如最大最小值等。那么什么是極端原理呢？極端原理的具體內容如下：

原理1：設M是由自然數組成的集合，不論M是由全體自然數組成的，還是由一部分自然數組成的。即不論M是由無窮多個自然數組成的，還是由有限個自然數組成，則M中必有最小數。

原理2：設T是由有限個實數組成的非空集合，則T中必有最大數，也必有最小數。

上面兩個原理的內容十分簡單，卻給我們解數學題提供了十分有用的工具和原則。

二、極端原理在高中函數最值中的應用

函數是高考的重點考察內容，許多實際應用題都涉及“最大最小值”“費用最多最少”等問題，這些都可通過極端原理的思想方法解決。

例1：南寧市某地產商計劃用810萬元入購一塊空地，在該地上建造一棟至少8層、每層1000平方米的樓房。若是將房子建為x（x≥10）層，則可得到平均建筑費用為每平方米364+81x（單位：元）。使樓房平均綜合費用最少，那么該樓需要建多少層？（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=購地總費用÷建筑總面積）

因此，將該樓房建為10層，平均綜合費用最少。

小結：極端原理的思想即為找到問題中的最特殊情況，于本題就是找到費用最少又符合要求的價格，所以本小題主要考查建立函數關系式，即函數模型，求函數最小值的方法。題目看起來背景復雜，讀到最后會發現平均綜合費的函數關系式在注釋里已經給出，只需將數值代入即可。

小結：導數是近幾年高考的熱點，其解法值得關注。而同時涉及到極端原理的思想，第一問中求出k值就是運用極端原理尋找特殊存在，此時，特殊存在是不建造隔熱層，即x =0，從而求解出k值。對于第二問，極端原理的運用已十分明顯，即為求出兩種費用之和最小值。

小結：本題求線段之和涉及了極端原理思想，此時的極端情形即為線段和的最大值問題，對于解法一，因圖形已經給出了，根據數形結合思想可以考慮，將求線段最大值轉換為求角度的特殊情況，最后再轉回線段長度問題得以求解。

綜上所述，極端原理求最值的思想方法對于解決函數實際問題十分有效，并且極端原理還可運用于解決各類數學問題中，比如方程問題、立體幾何問題、數列問題等，所以掌握極端原理思想是很有必要的。

【參考文獻】

[1]馬偉.極端原理在解題中的應用[J].科學教育，2008（09）

[2]王連笑.極端原理與解題[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社