基于“錯題診斷”的數學復習課教學研究

蘭衍局

[摘 要]當前，教師對學生在數學學習中出現的錯誤還缺乏認識，常把學生的錯誤簡單地歸因為粗心或上課不認真等，不能準確地認識到錯誤對學生和自身的發展均具有重要的作用與價值。基于此，教師應深入研究學生錯題的收集、分析、反饋、糾錯及價值等方面的問題，為開展復習課教學提供理論依據和實踐經驗。研究表明，這樣可使學生的錯誤率明顯下降，提高其綜合能力，促進其更深刻地理解所學的數學知識，也讓教師對數學教材的解讀更加到位，增強反思能力。

[關鍵詞]錯題診斷;小學數學;復習課教學;研究

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）27-0001-04

第一部分 研究背景

復習課，指教師專門引導學生對所學知識進行系統的歸納、總結、消化、理解、鞏固和綜合運用，從而溝通知識之間的橫向和縱向聯系，形成知識網絡，達到以幫助學生鞏固所學知識、培養學生解決問題能力為主要任務和目的的授課形式。復習課是數學教學中的重要組成部分，據統計，小學階段的數學復習課至少占教學總課時的1/3。雖然我市數學教師已有復習課教學的經驗，但通過聽課、調查、訪談等途徑發現，目前小學數學復習課教學還存在諸多問題，如“冷飯重炒”“忽視學生發展”等。

“錯題診斷”，指教師對學生的錯題進行收集，并引導學生分析錯誤的原因，從中找出最合適學生的教學策略，為開展復習課教學提供幫助。

基于以上認識，我們認為開展“錯題診斷”這一課題研究，能有效提高小學數學復習課教學的有效性。

第二部分 研究行動

一、以錯題征集為平臺，開展錯題研究

1.錯題征集，積累復習素材

收集錯題，指通過一定的程序，科學采集學生出現在作業本、數學課本、測試卷等資料上的錯題。收集錯題的對象主要有兩類，一類是教師，另一類是學生。教師收集錯題是為了弄清楚學生出現錯誤的原因，為改進教學提供依據。學生收集錯題是為了更清楚地弄懂自己的錯誤，防止下次再犯同樣的錯誤，提升自己的反思能力、審題能力，養成良好的解題習慣。

本文所指的錯題，主要來源于學生的作業本、數學課本、測試卷以及課堂學習中出現的錯題（如圖1），其中以作業本和測試卷上的錯題為主。

2.錯因歸類，把握復習方向

將收集的錯題整理后，教師可根據以下幾個方面（如圖2）進行歸類。但要注意的是，有時學生的錯誤往往出現兩種或兩種以上的原因，那么就要以主要的原因為基準，納入該類原因的分析之中。在錯題分析、歸類過程中，我們采取以下的分析策略。

（1）教師自己分析錯題。

分析學生的錯題，教師要遵循針對性、客觀性、準確性等原則，努力弄清楚學生出錯的原因，不要在猜測的基礎上做出偽分析，這樣會導致采取的診斷措施不具有針對性和實效性，甚至可能還會傷害學生。因此，教師一定要做到探尋根源、明晰問題、準確歸類，這樣對學生的錯題分析才會入木三分。

案例：對學生學習《運算定律與簡便計算》（四年級下冊）單元的錯題統計（略）

分析：統計后發現，學生錯誤的原因主要集中在以下幾個方面：第一，思維定式影響，表現為按照固定的思維模式去解決新問題。如751-199=751-200-1，學生就是受思維定式的影響，將199看作200-1進行計算，導致出現錯誤。第二，注意力特點的影響。小學四年級學生由于年齡的原因，對算式只會憑第一感覺去計算。如138+62-138+62=（138+62）-（138+62）=200-200=0，為什么會有學生這樣計算呢？這是因為學生發現哪些數字可以湊整，就不管三七二十一，先湊整再計算，從而導致不會從整體上觀察算式的特征后再計算。第三，強信息干擾。從學生的錯誤中不難發現“張冠李戴”“亂點鴛鴦譜”的現象，如2×（18×250）=（2×18）×（2×250）=36×500=18000、540÷45=540÷9+540÷5=60+108=168、480÷（20+40）=480÷20+480÷40=24+12=36等，主要是學生不理解乘法分配律所致。甚至有學生自己都問道：“乘法有分配律，除法怎么會沒有呢？”

（2）引領學生分析錯題。

對學生而言，分析錯題可從出錯的原因進行分析，如審題不慎、解題方法不對、知識點未能融會貫通、書寫不規范等，這些錯誤的原因符合學生實際。學生的自我分析，可以口頭表達的方式向同桌敘述，也可以書面表達的方式來記錄，如日記等，力求簡潔明了，不可煩瑣，否則學生就難以堅持，從而增加學生不必要的負擔。

案例：通過日記來反思

錯誤：數位沒有對齊。

分析：由于學生沒有仔細觀察，錯把2當作20來計算，導致出錯，從中也可以看出學生對“相同數位對齊”沒有真正理解，且數感較弱。因此，教師可以組織學生進行辨析：“如果是計算2+45，2應該寫在哪一位上？如果2寫在十位上，個位應該怎樣改？”然后要求學生寫反思日記，加深學生對錯誤原因的認識。

二、立足學生學習實際，開展“錯題診斷”復習課教學模式研究

在數學學習中，學生的認識必然經歷深化和發展的過程，其中包括出現一定的錯誤。這些體現學生認識能力和知識水平的錯誤，正是數學復習課教學應引導學生梳理、鞏固和強化的重點。基于“錯題診斷”來進行復習教學，能最大限度地達到復習課查漏補缺的作用和效果。那么，數學復習課中，教師如何適時地運用學生的錯題進行教學呢？經研究發現，從錯題收集的主體來分類，可分為教師收集和學生收集兩類。

1.以教師為主體收集錯題的復習課教學模式探索

在以教師為主體收集錯題開展復習課教學模式的研究過程中，從呈現錯題的時間，可分為引入、課中、課末三個不同階段。這是根據錯題的不同類型，選擇不同的時間段呈現，以發揮不同的教學價值和作用。

（1）引入——明確目標。

復習課教學中，教師先呈現學生知識前測或錯題本中反饋的信息，讓學生自主尋找知識的缺漏處和能力的薄弱點，然后揭示本節復習課的教學重點，引導學生針對性地進行查漏補缺。如課題組在研究《平面圖形的周長和面積的整理與復習》的知識前測時發現，學生對于圖形的周長和面積公式掌握得很好，但在組合圖形中容易混淆周長和面積這兩個概念。因此，復習課中，教師就要減少復習基本圖形的周長和面積公式，重點強化和突出組合圖形中面積計算的策略與運用。此外，課題組還用此方式研究了《式與方程的整理與復習》《時、分、秒的整理與復習》等內容的教學，并在此基礎上提煉出學生錯誤比較明顯的“錯題診斷”引入式的復習課教學模式，即“統計引入，明確目標——重點梳理，溫故知新——針對練習，鞏固提升”。

案例：《平面圖形的周長和面積的整理與復習》教學

一、統計引入，明確目標

師：（出示前測題）回想一下，你覺得哪幾道題比較容易出錯？

1.呈現前測統計數據。

師：你發現了什么？

2.呈現典型錯題，分析原因。

師：我們來看一看出現錯誤較多的題目，你覺得這節課我們需要重點梳理什么？（生答略）

師：（小結）要正確區別圖形的周長和面積，能靈活運用公式進行計算。

二、重點梳理，溫故知新

1.快速梳理：我們學過哪些圖形的周長和面積計算公式？請說完整。

辨析：為什么圖形的周長公式和面積公式不一樣？它們有什么不同？

2.重點討論：這么多的面積公式，我們能不能少記一些？你覺得哪些圖形的面積公式可以不用記？四人小組討論一下。

3.交流提升：這幾個圖形的面積公式，你準備記哪些？能不能只記住梯形的面積公式，然后用梯形的面積公式算出其他圖形的面積？（引導學生建立知識網絡）

重點分析：圓的面積公式可以不用記嗎？

三、針對練習，鞏固提升

……

（2）展開——梳理知識。

在研究中，我們發現基于單元教學內容有針對性地選擇典型錯題，能將本單元的知識點串成線、連成片、結成網。例如，教學三年級《有余數除法的整理與復習》時，我們從余數的概念、有余數除法算式的形式、有余數除法的應用三個維度，收集了學生的三道典型錯題，然后通過對錯題的分析與交流，幫助學生明晰知識的本質，系統梳理本單元的知識點，達到提升學生數學能力和溫故知新的目的。基于這樣的研究，我們提煉出了“錯題診斷”展開式的復習課教學模式，即“直接引入，回顧知識——錯題分析，梳理知識——有效練習，強化提升”。此模式適用于知識點相對集中的單元整理與復習教學，如《分數的初步認識》《因數和倍數》等。

案例：《有余數除法的整理與復習》教學

一、直接引入，回顧知識

回憶：這一單元，我們學習了哪些內容？你認為哪些內容比較難，且容易出錯？

二、錯題分析，梳理知識

1.談話：課前老師收集了一些同學們的錯題，你們能找出錯誤的原因并幫忙訂正嗎？

2.出示要求，合作完成。

（1）四人小組合作，完成錯題卡。

（2）分析錯題：找一找，錯誤的原因是什么？寫一寫，該怎么訂正？想一想，有什么建議？

（3）派代表匯報。

3.反饋交流，梳理知識。

錯題（1）：豎式計算28÷4=6……4。

交流提升：明晰余數的概念，即余數不大于除數。

錯題（2）：有13個羽毛球，平均分給5人，每人分到3個，還剩下2個。[13÷5=3（個）……2（個）]

交流提升：明確關系式的轉化，如被除數÷除數=商……余數、除數×商+余數=被除數、被除數÷商=除數……余數。

錯題（3）：26個同學去劃船，每條船能坐6人，要租幾條船？[26÷6=4（條）……2（人）]

交流提升：靈活應用，體驗余數的應用價值。

三、有效練習，強化提升

……

（3）練習——鞏固內化。

數學復習課，教師應安排充足的習題讓學生進行鞏固性訓練。那么，對于復習課上的習題，教師該如何去評講呢？哪些習題需要詳細分析，教師必須做到心中有數，這樣才能利用學生的錯題進行針對性講評。由此，我們形成了“錯題診斷”練習式的復習課教學模式，即“激活知識，梳理建構——自主整理，建構網絡——錯題反思，針對練習”。例如，教學《運算定律和性質的整理與復習》時，我們精選三道錯題讓學生進行分析。在分析過程中，學生不僅進一步理解算理，而且明白“錯誤是不可避免的，錯誤是要付出代價的，所以我們要珍視錯誤，減少犯錯”。此模式可以廣泛地應用于突出和強化基本運算技能的整理與復習課，如《萬以內的加法和減法的整理與復習》《多位數乘一位數的整理與復習》《除法是兩位數除法的整理與復習》等。

2.以學生為主體收集錯題的復習課教學模式探索

學生是學習的主體，所以除了教師收集錯題外，還可以讓學生自己收集錯題，旨在更加凸顯和關注學生的差異教學。

（1）借助討論，剖析錯題，促有效復習。

這類以錯題為載體的復習課，重在引導學生課前利用錯題本進行復習內容的錯題整理、分類，然后課中利用小組合作學習等方式，讓學生交流討論典型錯題、分析講解，課末再全班進行交流。這樣在正確與錯誤的探究中議錯、辨錯，使學生不僅“知其錯，而且知其所以錯”。只有對錯題進行理性反思、辨別異同，才能避免所學知識出現模棱兩可的現象，從而深化對所學知識的理解。同時，這樣有利于教師關注學生學習的重、難點，從而進行有針對性的復習教學，提高學生復習的效果。由此，我們形成了“錯題診斷”合作式的復習課教學模式，即“自主梳理，知識成網——自主摘錄，分析錯題——討論交流，突破難點——總結歸納，拓展提升”，這一模式比較適合錯題類型相對集中的整理與復習教學。如三年級下冊《面積的整理與復習》教學，學生的錯誤比較集中在“面積和周長概念混淆”“不會選擇合適的面積單位”等知識上。因此，教師可以通過“錯題診斷”合作式的復習課教學模式，在學生討論中加以引導，使學生明晰面積和周長之間的區別與聯系，促進對所學知識的理解與掌握。

（2）一對一輔導，查漏補缺，促有效提升。

這類復習課基于學生對錯題的自主整理，即讓學生課前自主整理錯題本，進行分類并摘錄自己不能解決的錯題，然后課中以提問的方式來解決。這類復習課教學模式更加關注學生間的個體差異，旨在讓不同的學生根據自己的實際學習情況來查漏補缺。同時，這樣可充分發揮不同層次學生的作用，即讓會的學生做“小老師”，與不會的同學互幫互助，進行一對一的輔導，從而促進全體學生學習能力的提升，由此，我們形成了“一對一”診斷式的復習課教學模式，即“自主摘錄，分析錯題——提問求助，查漏補缺——自主梳理，知識成網——總結歸納，拓展提升”，這一模式比較適合錯題較分散、知識層次性較強的整理與復習教學。例如，《數的整理與復習》這一單元的知識點比較多，學生常出現以下錯誤：概念模糊不清，如質數不會判斷等;分類不明，如質數、偶數、合數、奇數等概念混淆;分解質因數掌握不好……復習教學中，簡單的問題可讓學生以小組合作的形式解決，小組合作解決不了的問題可向全班提出，師生一起交流解決。在交流過程中，教師應引導學生梳理知識點，幫助學生明晰概念之間的區別和聯系，形成知識網絡。在課的最后環節，教師可再引導學生對所學知識進行適當的延伸與拓展。

第三部分 成果與成效

一、構建切實可行的系列錯題管理策略

在課題研究中，我們發現錯題管理是相當重要的策略，能有效引導學生整理錯誤的類型，反思錯誤的原因，使學生掌握適合自身特點的糾錯策略，為“錯題診斷”的復習教學奠定堅實的基礎。經過不斷的實踐與改進，我們形成了以下幾種錯題管理策略（如圖3），實現百花齊放、春色滿園的目的。

二、形成操作性強的“錯題診斷”復習課教學模式

在開展課堂實踐研討的基礎上，從教師和學生兩個主體出發，提供“錯題診斷”的素材分類（如圖4）。從教師這一主體，提煉出以教師為主體收集錯題的復習課教學模式，里面又細化為從課前、課中、練習三個階段引入錯題教學;從學生這一主體，根據學生間的個體差異，提煉出以學生為主體收集錯題的復習課教學模式，由于復習內容的不同，學生錯題歸因的差異性和個體需要被關注的程度不同。這些模式的操作性強，適用于不同的復習知識點、不同的學生層次，可供教師借鑒和思考。

三、促進師生共同成長

在錯題研究中，教師和學生收集錯題、整理錯題、分析錯題、改正錯題，共同得到了發展。具體表現如下：

1.學生的綜合能力提升明顯

通過對錯題的收集和分析，促進了學生糾錯能力的提高，也發展了學生的元認知能力、數學思維能力，深化了學生對所學知識的理解，從整體上提升了學生的綜合能力。

（1）提高學生的元認知能力。

元認知是近二十年來西方心理學和教育學領域提出的一個新概念。認知理論和我們的研究表明，通過對錯題的分析、糾正，可以促進學生元認知能力的發展，且通過反思錯題，能更好地降低學生重復出錯的概率。這是因為教師在平時教學中有意識地引導學生對解題過程進行回顧、反思、評價，不斷促進學生元認知能力的發展和提高，實現認識上的“知其然，又知其所以然”。

（2）深化學生對所學知識的理解。

在數學復習課中，本課題組的教師常常會根據學生的錯誤進行教學，這樣對學生理解所學知識是有幫助的，因為錯題是理解知識的最好資源之一，用得好有很大的促進作用。

（3）提高學生的數學思維能力。

學生學習出現錯誤的原因往往不止一種，除了理解知識的原因外，還有與數學素養緊密相關的一些原因，如解題能力、交流能力、推理能力等。因此，教師引導學生對收集的錯題進行分析和反思，給出合理的評價和診斷，對提升學生的數學思維能力有很大的促進作用。

2.教師的實踐能力提升明顯

學生的錯題對教師來講，有很大的利用價值。本課題組教師通過對學生錯題的收集和分析、反饋和反思，不僅深化了對教材的解讀，而且更清楚地弄懂了學生錯誤的原因。

（1）深化對教材的解讀。

將學生的錯題作為教學資源，使本課題組的教師不僅深刻理解了數學教材，而且對數學知識之間的聯系和區別有更清楚的認識。通過兩年的研究發現，參與本課題組研究的教師對數學的本體性知識有更深刻的理解，能更多地從學生與教材的角度，對教材和課程標準進行多維度的解讀。

（2）提升反思、科研等能力。

通過對學生錯題的分析，本課題組教師不斷地反思自己的學生觀、學習觀和教學觀，從而提升自己的反思能力。兩年時間，本課題組教師在省級以上刊物發表與課題相關的論文20多篇，平均每人4篇，縣級以上獲獎論文多篇，執教了多堂復習教學的公開課、講座等。

（3）形成正確的“錯誤觀”。

據研究發現，教師對待學生的錯誤有以下三個層次：層次一，教師對學生的錯題雖然進行講解，但若只是簡單地告訴學生正確答案，這是最低層次;層次二，教師雖然對學生出現的錯題進行透徹講解并分析原因，注重學生的學習過程，但這樣的行為若處于間斷狀態，也就是遇到一道錯題講解一道錯題，這是合格層次;層次三，教師透徹講解學生出現的錯題，并有意識地把這種間斷行為變成連續行為，不斷積累錯題資源，擁有自己的錯題庫，還在適當時為學生創設情境，利用錯題進行有效教學，這是最高層次。經過兩年的“錯題診斷”，發現參與本課題組研究的數學教師均能達到層次三的水平，能對學生出現的錯題進行整合、優化，做成“小學數學學生錯題集錦”，并能分單元羅列錯題，寫出原因分析與提示。這充分說明，參與課題組研究的數學教師已初步形成了正確的“錯誤觀”。

總之，小學數學復習課要真正上好、上出實效并不容易，需要教師根據學生的實際學習情況不斷探索、不斷總結，才能使復習課有趣、扎實，才能使學生學有所得，才能使復習課充滿活力與生機。

（責編 杜 華）