基于核心素養(yǎng)的“函數(shù)的概念”教學(xué)案例

江蘇省淮安市新淮高級中學(xué) 張 靚

一、教材內(nèi)容分析

函數(shù)的概念是中學(xué)數(shù)學(xué)概念中最重要的基本概念之一，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中的“核心”內(nèi)容。函數(shù)思想貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，而函數(shù)概念是函數(shù)思想的基礎(chǔ)，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的主題內(nèi)容。

初中時(shí)，蘇教版教材中函數(shù)的定義是：一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。從概念的定義我們不難發(fā)現(xiàn)，此處將函數(shù)看成是兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系，但隨著學(xué)習(xí)的深入，再從變量之間的關(guān)系角度看，就很難解釋形如y=2這樣的函數(shù)。如果用高中集合、對應(yīng)的知識來解釋，就很自然。

實(shí)際上，初中教材和高中教材對函數(shù)概念的定義在本質(zhì)上是一樣的。高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時(shí)還用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)。雖然在初中沒有提及集合與對應(yīng)的概念，但事實(shí)上它是客觀存在的，滲透學(xué)生在解決具體問題的過程中。不同之處在于初中所接觸的函數(shù)多數(shù)是有解析式的，而高中引入了新的符號“f”，用“f”表示對應(yīng)關(guān)系，用f（x）表示集合B中與x對應(yīng)的那個(gè)數(shù)。

二、學(xué)生學(xué)情分析

授課對象：市重點(diǎn)高中普通班級的學(xué)生。學(xué)生在初中學(xué)習(xí)代數(shù)時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、表示方法以及圖像的繪制，并具體學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)及二次函數(shù)的概念和性質(zhì)。進(jìn)入高中，又學(xué)習(xí)了集合與對應(yīng)的語言，這些都為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)做了鋪墊。但高一學(xué)生的抽象思維和概括能力還較弱，從具體實(shí)例中概括事物的特征，并用集合的語言描述函數(shù)的概念尚難，需要教師的引導(dǎo)。

三、教學(xué)目標(biāo)分析

教學(xué)參考書中的教學(xué)目標(biāo)是這樣設(shè)定的：了解函數(shù)的定義，能用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的應(yīng)用；了解函數(shù)的構(gòu)成要素。根據(jù)教學(xué)參考書中的教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定，筆者將這些教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行了細(xì)化，使之更具有操作性：①通過豐富的實(shí)例了解集合A和集合B都必須是非空的數(shù)集；②理解函數(shù)的本質(zhì)，理解兩個(gè)數(shù)集之間有確定的對應(yīng)關(guān)系f，會求簡單函數(shù)的定義域；③通過經(jīng)歷函數(shù)的概念形成和辨析，發(fā)展學(xué)生的思維能力，通過課堂互動(dòng)，體會函數(shù)思想和數(shù)學(xué)美。

四、教學(xué)重、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)是通過引導(dǎo)學(xué)生概括具體實(shí)例的共同屬性，用集合與對應(yīng)的數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)概念；教學(xué)難點(diǎn)是理解函數(shù)概念及符號y=f（x）。

五、教學(xué)策略分析

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生學(xué)情以及教學(xué)重難點(diǎn)的設(shè)置，筆者采用問題式教學(xué)法先設(shè)置問題情境，用問題驅(qū)動(dòng)、引導(dǎo)學(xué)生，再通過學(xué)生之間的合作交流、歸納，抽象出函數(shù)的概念。

六、教學(xué)過程分析

1.復(fù)習(xí)回顧，引入問題

在初中，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)，你還記得函數(shù)的概念嗎？根據(jù)函數(shù)的定義，你能舉出幾個(gè)函數(shù)的具體例子嗎？（請學(xué)生舉例）在學(xué)生舉例的基礎(chǔ)上，追問：你是如何判斷你所舉出的例子就是函數(shù)？依據(jù)是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例，一方面可以了解學(xué)生在初中時(shí)對函數(shù)概念的認(rèn)知程度，另一方面有助于形成學(xué)生對知識“再創(chuàng)造”的欲望。此環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生從變量的角度感受函數(shù)概念的本質(zhì)，并培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

2.創(chuàng)設(shè)情境，形成概念

情境：一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s 落到地面擊中目標(biāo)，炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時(shí)間t（單位：s）變化的規(guī)律是h=130t-5t2，試問：炮彈距離地面的高度h是時(shí)間t的函數(shù)嗎？為什么？

情境：已知某市一天24 小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖（圖略），那么氣溫t是時(shí)間h的函數(shù)嗎？為什么？你能用集合的語言重新表述一下這個(gè)對應(yīng)關(guān)系嗎？

學(xué)生思考、討論、交流。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分參與課堂，體驗(yàn)不僅僅是解析式，圖像也是一種記錄兩個(gè)變量之間對應(yīng)關(guān)系的語言，進(jìn)一步提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題的能力。

問題：分析這兩個(gè)實(shí)例，它們有哪些共同屬性呢？哪位同學(xué)來說一說？

設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般，通過回答不同實(shí)例中的集合，進(jìn)一步清晰函數(shù)可以看做兩集合的對應(yīng)關(guān)系這一初步印象，初步體驗(yàn)函數(shù)概念。

教師：我們學(xué)習(xí)過很多的數(shù)學(xué)概念，當(dāng)我們認(rèn)識到概念的本質(zhì)屬性以后，往往將這些數(shù)學(xué)概念沉淀成一個(gè)數(shù)學(xué)符號。那么這三個(gè)引例的共同屬性是不是也可以用數(shù)學(xué)符號來表示？（老師總結(jié)板書）

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生總結(jié)兩個(gè)實(shí)例的共同屬性的基礎(chǔ)上，及時(shí)地引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，引導(dǎo)學(xué)生把符號和它所代表的含義聯(lián)系起來，不僅有效突破本節(jié)課的難點(diǎn)，還可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建構(gòu)意識和轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生的語言概括能力，真正做到用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。

教師幫助學(xué)生建立函數(shù)關(guān)系。

問題：回顧這節(jié)課學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念，你覺得有哪些關(guān)鍵詞呢？

設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生指出概念中的關(guān)鍵詞，從抽象到具體，從一般到特殊，挖掘知識的背后學(xué)生的思維過程，暴露學(xué)生對函數(shù)概念的本質(zhì)的理解情況。

3.概念辨析

判斷：下列哪些y是x的函數(shù)，為什么？

4.典例講練，示范鞏固

例1：下列集合A到集合B的對應(yīng)f中：是從集合A到集合B的函數(shù)為：_______

①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的數(shù)的平方；

②A=R,B={正實(shí)數(shù)},f:A中的數(shù)取絕對值。

設(shè)計(jì)意圖：對函數(shù)概念正例與反例的辨析，強(qiáng)調(diào)對應(yīng)關(guān)系的方向。通過學(xué)生比較、分析、概括，可以使概念的關(guān)鍵屬性變得清晰，使實(shí)例成為理解概念的一種思維載體。

例2：已知函數(shù)。（3）當(dāng)a＞0 時(shí)，求f（a-1）的值。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生能根據(jù)定義，求出簡單函數(shù)的定義域，加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

5.總結(jié)反思，提高認(rèn)識

課堂小結(jié)：本節(jié)課你有哪些收獲呢？還有哪些困惑？

設(shè)計(jì)意圖：鞏固函數(shù)概念。

6.作業(yè)設(shè)計(jì)

相應(yīng)學(xué)案的課后作業(yè)，分必做題、選做題以及拓展題。