高職數學兩個重要極限教法探析

陳忠東

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?結合高職數學的教學實際，對兩個重要極限的教學方法進行了分析、探討，總結出適應高職學生數學基礎的教學方法。對有效地化解教學難點，提高高職數學教學效果有一定的探索意義。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?高職數學;重要極限;教法

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2019）17-0196-02

高職學生數學基礎較為薄弱，由于數學知識間緊密的聯系性，致使他們在學習新知識時不能完全領悟、理解，雖然付出努力卻收獲甚微。如何克服困難，充分利用各種有利條件調動學生學習數學的積極性，保證大多數學生能夠學好數學，值得高職的數學教師研究并且要探索出一種可行的教法。

給學生上課講兩個重要極限時，經常會遇到學生有以下困惑：在學習第一個重要極限時，有的學生將■■=1與■■=0混淆。在學習第二個重要極限■1+■x=e時，有的學生容易與■1+■x=1混淆。做相關題目時也不能區分正確兩個重要極限，也就是抓不住問題的實質。學生產生上述困惑的主要原因是概念不清、基礎不扎實以及缺乏自信。從教學方面來看，主要是沒有采用適應高職學生數學基礎的教學方法，沒能重點講清兩個重要極限的結構特征。

高職數學中很多典型知識的應用是有規律可循的，恰當地總結與應用這些規律，可以使學生在解決有關問題時方向明確，事半功倍。因此，筆者在高職兩個重要極限教學實踐中，采用找規律，抓方法，勤總結，將兩個重要極限的知識要點歸納起來，先給出一般表現形式，再給出其特點，最后通過實例學習來鞏固強化，化解教學難點，達到加深學生理解、舉一反三的效果，收到了較好的教學效果。

下面結合例題加以說明。

一、第一個重要極限

1.表現形式（1）■■=1 ? ? ? ?（2）■■=1

2.第一個重要極限的兩個特征

（1）角度一定趨于零;

（2）分子是角度的正弦函數，分母一定是這個角度本身。

第一個重要極限應用于求含三角函數的■型未定式極限，所求極限同時滿足兩個特征時，極限值就等于1。若僅不具備第二個特征，則湊不含sin號的那一邊，使之滿足第一個重要極限的形式。

3.實例

如果所求極限不具備第一個特征，則一定不能用第一個重要極限。

例1 求下列函數極限

（1）■■ ? ? ? ? （2）■■

解 （1）雖然函數也是■的形式，但當x→■時，該極限不滿足■型，所以它不屬于第一個重要極限。直接用代入法即可解得■■=■=■=■

（2）■■

由于x→∞時，該極限不滿足■型，所以它不屬于第一個重要極限。利用無窮小量的性質：“無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量”。

■■=0，且sinx≤1，■■=■■sinx=0.

若僅不具備第二個特征，則湊不含sin號的那一邊，使之滿足第一個重要極限的形式，進而應用第一個重要極限求解。

例2 求■■

解 ■■（■型）=5■■= 5.

小結：■■=k

例3 求■■

解 ■■（■型）=■■=■■■=■.

小結：■■=■

例4 求■■

解 ■■=■■=■■■■=1.

例5 求■■.

解 ■■=■■·■=1×1=1

上面的解法是錯誤的。

因為x→π時不滿足第一個重要極限的兩個特征，不能使用■■=1及■■=1。

正確的解法為：■■=■■=■■=-■■=-■=-1.

4.學生做練習，鞏固所學

（1）■■=7 ? （2）■■=■

二、第二個重要極限

1.表現形式

（1）■1+■x=e （2）■1+■Φ（x）=e

2.第二個重要極限的兩個特征

（1）底一定是數1加上無窮小量;

（2）指數一定是底中無窮小量的倒數。

第二個重要極限應用于求1∞型未定式，所求極限同時滿足兩個特征時，極限值就等于e.所求極限若具有第一個特征而不具備第二個特征，則可以通過冪的運算法則等代數恒等變形，使之滿足第二個特征，進而應用第二個重要極限求解。

3.實例

例6求■1+■x+4

解 ■1+■x+4（1∞型）

=■1+■x■1+■4=e×1=e.

小結：■1+■x+k=e.

例7 求■1+■4x

解 ■1+■4x（1∞型）

=■1+■■■=■1+■■■=e4■.

小結：■1+■kx=ek■.

例8 求■1-■x

解 ■1-■x=■1+■■■=e-3.

小結：■1+■x=ek■.

例9 求■1+■3x+5

解 ■1+■3x+5=■1+■3x■1+■■=■1+■■1+■■

=■1+■■■1+■■=e6

小結：■1+■bx+c=eab.

例10 ?求■■■

解 ?■■■=■■■=■■=■=e.

4.學生做練習，鞏固所學

（1）■1+■■=e.（2）■1+■■=e3.

（3）■1-■■=e-1.（4）■1+■■=e■3×4=e12.

學生直接應用兩個重要極限求其他極限比較困難，但可以將它們分別推廣為一般公式，通過一般公式學生可以清楚地了解兩類極限中函數的結構特征、應具備的條件，教師再向學生介紹兩個公式在使用時對所給函數進行恒等變形的關鍵點，讓學生在理解的基礎上直接套用公式解題，再配以例題講解以及一定量的反復鞏固練習，突破了難點就可以使學生得心應手地進行有關的極限計算。

總之，在兩個重要極限的教學設計中，要充分了解學生的基礎和知識面，如三角函數的有關公式，冪的有關運算法則學生大都遺忘了，在教學時要注意多花點時間給學生復習，往往學生的難點不都出現在本節所要理解的內容上。

在實際教學中，應教會學生吃透教材，并且結合實際進行通俗化、公式化及口訣化教學，盡量使用短小精悍的語言，讓學生盡快掌握并能熟練應用。要讓學生做學習的主人，變“要我學”為“我要學”。只有這樣，才能提高學生學習數學、應用數學的能力，取得良好的教學效果。

參考文獻：

[1]趙樹嫄.經濟應用數學基礎（一）微積分[M].3版.北京：中國人民大學出版社，2007.

[2]賈敬堂，徐愛華，張彩紅.高職數學兩個重要極限教法探究[J].邯鄲職業技術學院學報，2013（26）：1.

編輯 馬燕萍