論數學實驗的類型內涵與教學意義

紀宏偉 錢美蘭

摘 要：本文從不同的分類標準給出了數學實驗的分類，對數學實驗的內涵進行了解讀，同時闡述了數學實驗的教學意義。

關鍵詞：數學實驗 分類 內涵 意義

課 題：本文系江蘇省教育科學“十二五”規劃重點自籌課題“教育維度下的數學實驗實踐研究”（課題編號：B-b/2015/01/088）、江蘇省現代教育技術研究2018年度立項課題“基于云教育環境下個性化教學研究”（課題編號：2018-R-60705）研究成果。

一、數學實驗的分類

為了全面地認識數學實驗，更好地發揮數學實驗的作用，我們需要對數學實驗進行分類。分類標準主要是基于視角的不同，關注點的不同，從而形成不同的分類方法。具體有以下幾種分類。

1.從實驗手段來分類

可區分為現代數學實驗和傳統數學實驗兩類。所謂現代數學實驗，是指利用計算機與數學軟件進行實驗，實驗內容多以圖形展示、數值計算、符號變換等為主，常常結合數學模型進行探索;所謂傳統數學實驗，是指利用實物模型或教具進行純手工操作，或使用紙筆進行思維性實驗。

2.從實驗的時間地點來分類

可區分為實驗室實驗、隨堂實驗和課外實驗。所謂實驗室實驗，指的是在多媒體教室或計算機房進行實驗，一般要求主題較大，內涵較深刻，實施過程具有明顯的探索性和過程性，需要事先制訂實驗計劃，實驗后需要寫出完整的實驗報告等。所謂隨堂實驗，是指穿插在課堂教學中的實驗，安排上較為靈活，直接為隨后的教學主題服務，一般要求內容短小，直觀性強、操作相對自由。所謂課外實驗，主要是指讓學生課外以小組為單位進行實驗，先要提供給學生感興趣的與現實生活相關的主題或材料，要求學生利用課外時間進行調査研究、觀察現象或記錄數據，最后獲得結論并給出合理的數學解釋。

3.從實驗的目的來分類

可區分為驗證性數學實驗和探究性數學實驗。所謂驗證性數學實驗，是指通過實驗操作，對數學概念、定理等進行檢驗，對數學事實或原理具體解釋，或判斷命題或結論的真假。這類實驗的操作模式相對比較固化，一般安排在新知識、新結論之后。很多的數學問題可以通過這種方式驗證結論的真偽，例如對某個具有實際意義的函數解析式進行數據收集和驗證，截取不同形狀的圓錐截面，投硬幣、浦豐投針問題等關于隨機事件概率的驗證性實驗，對幾何體的性質和點、線、面的關系驗證判斷等。所謂探究性數學實驗，是對結論未知的數學問題，借助數學軟件和工具，創設有利于觀察與思考的條件，通過探究發現，建構新知，實驗后還會進行反思、總結，最終演繹證明數學化，以加深對數學內容的理解，加深對數學本質的理解。這類實驗比驗證型實驗耗時多，實驗的過程是有趣的、刺激的，一般把它安排在發現、提出概念原理之前，如分析各參量對函數的圖像造成的影響，復合函數單調性規律實驗等等，先給學生提供實驗的課題，學生自主的進行實驗觀察、分析發現、探究總結。

4.從實驗的開展形式來分類

（1）操作性實驗。操作性實驗是指在問題情境中，以實物模型、教具、自備材料、手持設備、計算器等為實驗工具，以學生動手操作為主，在具體的實踐環境中探究數學知識和檢驗數學結論。這類數學實驗側重直觀層面，因此具有直觀背景的概念和命題是主要的實驗素材。當需要利用直觀材料加深學生對數學知識的感性認識時，促進學生的思維，操作性實驗是很好的開展形式。如利用實物模型或三角形紙片等實物模型，通過手工操作，可發現三角形內角和是180o、三條中線交于一點、三條角平分線交于一點等性質。教學內容中的案例《折紙中的圓錐曲線》，實物模型的演示、折紙、圖形的剪拼等，都是很好的操作實驗。立體幾何部分的教學需要較強的空間想象力，通過操作性實驗培養學生的這種能力有很好的效果。實物模型是最能讓學生直觀感受其本質的，如錐體的體積是相應圓柱體體積的三分之一就可以制作模型進行實踐操作，通過實驗直觀感知更好。

（2）思維性實驗。思維性實驗是由具體實驗抽象和概括出來的，不一定都得用實物，也無需使用過多的實驗工具，更多的是通過大腦的想象，以抽象的數學對象為實驗材料，模擬具體實驗的設計和操作，在思維中想象實驗的具體過程。首先運用一定的思維方式對實驗對象的不同層面進行分析，將所研究對象的多種變化形態展示出來，從個性推廣到共性，又從一般得出實驗對象的特征和性質，認知實驗可能發生的結果。這種實驗不受具體條件限制，只要求“在理論上或者假設能辦到”就可以，常應用于探索解題方法和途徑方面。

例如，平面內有n條直線，其中任意兩條直線相交，任意三條直線都不過同一個點，求這n條直線共存在多少個交點？

實驗過程：①畫圖觀察，由圖可得……由此可知……猜想……。②證明猜想，從略。這里的畫圖、觀察、猜想、歸納、證明的過程就是思維性實驗。試想，如果n是一個很大的值，還能把圖畫出來嗎？實驗是在想象中做的，是設想的，是思想的運作，可見思維性實驗是對操作性數學實驗的深化。值得注意的是，思維實驗的理論分析和計算方法是源于數學知識但又高于數學知識的一種隱性數學知識，均來自于具體實驗操作的經驗，以具體的數學知識為依托。

（3）計算機模擬實驗。計算機模擬實驗是指在借助于計算機相關軟件或平臺等現代技術手段創設的環境下進行的數學實驗。我們知道，有些數學問題本身具有動態的復雜性，難以從靜態上加以刻畫，也不可能在頭腦中完全展現其數學模型，此時就需要借助計算機來模擬各種與教學內容相適應的情境，為抽象的數學思維提供直觀模型。信息技術高速發展，計算機為數學實驗提供了豐富的物質基礎和技術手段，為學生提供多種多樣的學習情境及有力的學習用具，能夠解決直觀層面上和抽象層面上一些較難解決的問題。如布豐投針實驗，借助于幾何畫板等軟件去模擬投擲實驗，解決了受數學客觀條件限制的難題。現代科學技術的發展為數學教學手段的現代化提供了有力的保證。有人認為，借助于計算機，數學已經成為一門新的實驗學科，它的活動天地已不再局限于演繹推理的形式體系之中。