例談高中數(shù)學(xué)推理證明教學(xué)

上海南匯中學(xué) (201399) 顧彥瓊

“推理證明”的重要性在學(xué)習(xí)和生活中都有體現(xiàn)，考察一個(gè)猜想的結(jié)論并根據(jù)這種考察的結(jié)果來判斷猜想是否可靠，這是一種典型的歸納方法.與日常生活中一樣，在科學(xué)研究上我們對(duì)于一個(gè)猜想的信賴程度，會(huì)而且應(yīng)該根據(jù)從其得出的可觀察到的結(jié)果符合于事實(shí)程度的多少來判斷.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類：一類是從特殊到一般的圖例，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.

從思維品質(zhì)的角度認(rèn)識(shí)邏輯推理素養(yǎng).要特別關(guān)注上述表述所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)及對(duì)人的思維的特定要求，即它是建立在數(shù)學(xué)邏輯推理基礎(chǔ)上的思維，因?yàn)檫@種思維具有流動(dòng)性、順序性、傳遞性等特點(diǎn).

案例1借助數(shù)學(xué)軟件直觀猜想

隨著計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件的發(fā)展，為數(shù)學(xué)提供檢驗(yàn)猜想的工具，使我們的數(shù)學(xué)研究方式發(fā)生變化.在這個(gè)“做數(shù)學(xué)”或數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中，不僅有計(jì)算或演繹，而且涉及觀察、猜測(cè)、嘗試、調(diào)控、估計(jì)、檢驗(yàn)等多種方式，讓學(xué)生感受、體會(huì)這些數(shù)學(xué)研究的基本方法將使他們終生受益.

在我們教師平時(shí)的新授課中運(yùn)用幾何畫板和Geogebra等數(shù)學(xué)軟件幫助教學(xué)已經(jīng)成為常態(tài)，章建躍先生曾在訪談中提出，在教學(xué)中，很多教師會(huì)注重?cái)?shù)學(xué)的“術(shù)”，而忽略數(shù)學(xué)的“道”，引發(fā)筆者思考，一是贊同章先生的見解，二是如何在教學(xué)中體現(xiàn)注重?cái)?shù)學(xué)之道呢？2018年11月，筆者因工作需要，要準(zhǔn)備一節(jié)展示課，抽中的課題是上海教育出版社高中一年級(jí)第一學(xué)期(試用本)79頁至81頁的《冪函數(shù)的性質(zhì)與圖像》.在查閱資料，備課磨課的過程中，筆者對(duì)第二個(gè)思考問題略有見解，因此形成此文想與各位同行一并分享討論.

在眾多的《冪函數(shù)的性質(zhì)與圖像》的教學(xué)設(shè)計(jì)及省市級(jí)展示課中，不論是什么教材版本，這一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過程主要步驟大都為(1)教師示范研究，(2)學(xué)生合作探究，(3)師生得出結(jié)論.第一、二個(gè)環(huán)節(jié)基本相同，而在第三環(huán)節(jié)中體現(xiàn)了不同的處理方式.

(1)觀察圖像后得出y=xk(k為常數(shù)，k∈Q)，得出結(jié)論冪函數(shù)圖像一定經(jīng)過(1,1)點(diǎn).當(dāng)k>0時(shí)，在第一象限遞增；當(dāng)k<0時(shí)，在第一象限遞減.

(2)觀察圖像后總結(jié)得到冪函數(shù)圖像不經(jīng)過第四象限，簡(jiǎn)單說明原因.

筆者認(rèn)為緊扣教材，又靈活應(yīng)用教材是教學(xué)的基本要素.上海教育出版社高中一年級(jí)第一學(xué)期(試用本)80頁的原題是：

例3 已知冪函數(shù)f(x)=xm(m<0,m∈Q).

(1)求證：f(x)=xm在(0,+∞)上是減函數(shù)；

解:(1)任取x1,x2∈(0,+∞)，設(shè)0

說明：在此處值得商榷的是，由于本教材中對(duì)于不等式的乘方性質(zhì)，只涉及到自然數(shù)集，此處m并非一定是自然數(shù)，因此證明在此處存在漏洞.

部分教師在展示多個(gè)冪函數(shù)圖像后，學(xué)生猜想出了冪函數(shù)圖像在第一象限的圖像后就戛然而止，告一段落.筆者認(rèn)為，這依然只是從數(shù)學(xué)直觀上進(jìn)行猜想，要進(jìn)一步得到數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，理應(yīng)對(duì)所猜想的結(jié)論加以證明.由此也可以更合理地應(yīng)用教材中的例題，而銜接上也更自然.

相關(guān)部分教學(xué)過程如下：

1.小組活動(dòng)，合作探究

例2 以大組為單位每組研究一個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)完成下列表格，并作出函數(shù)的圖像

y=x3y=x12y=x-2y=x-12定義域值域奇偶性單調(diào)性

(圖象略)

2.數(shù)學(xué)直觀，猜想結(jié)論

小結(jié)：冪函數(shù)圖像在第一象限的特點(diǎn).(PPT投影)

(1)圖像必過(1,1)點(diǎn).

(2)k>0時(shí)，圖像必過(0,0)點(diǎn)，且在(0,+∞)上是增函數(shù).

(3)k<0時(shí)，在(0,+∞)上是減函數(shù)．

3.嚴(yán)格證明相關(guān)猜想

(同教材80頁例3，略)

案例2借助列表對(duì)比歸納推理

數(shù)學(xué)表征概念(如一個(gè)特殊的公式或方程式、笛卡爾坐標(biāo)上的一個(gè)圖形等)不能孤立地理解，只有把它們?nèi)谌敫鼮閷挿旱南到y(tǒng)(意義和規(guī)則也已建立)中才產(chǎn)生意義.在整個(gè)系統(tǒng)中，內(nèi)部存在著不同層次的結(jié)構(gòu)，而且結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)之間緊密聯(lián)系，即內(nèi)部不同表征之間具有相互作用.

“子集與推出關(guān)系”是上海教育出版社高中教材的新增內(nèi)容，這一節(jié)內(nèi)容普遍被認(rèn)為抽象難學(xué)，筆者在學(xué)習(xí)同行的公開課后，發(fā)現(xiàn)這樣抽象的課也可以用啟發(fā)式教學(xué)法來講授，同時(shí)注重學(xué)生的邏輯推理能力的培養(yǎng).

選取片斷如下：

問題1用“?”、“?”填空：

(1)我是上海人我是中國人；

(2)x>5x>3；

(3)x2=1x=1.

(4)x·y>0x>0,y>0

問題2用“?”、“?”填空：

(1)A={x|x是上海人}，B={x|x是中國人}，AB；

(2)A={x|x>5},B={x|x>3},AB;

(3)A={x|x2=1},B={x|x=1},AB;

(4)A={(x,y)|x·y>0},B={(x,y)|x>0,y>0},AB.

集合間的包含關(guān)系與推出關(guān)系的等價(jià)性.

集合集合之間的關(guān)系集合性質(zhì)的推出關(guān)系A(chǔ)={x|x是上海人}B={x|x是中國人}A?B我是上海人?我是中國人A={x|x>5}B={x|x>3}A?Bx>5?x>3A={x|x2=1}B={x|x=1}A?Bx2=1?x=1A={(x,y)|x·y>0}B={(x,y)|x>0,y>0}A?Bx·y>0?x>0,y>0

一般結(jié)論：

設(shè)A,B是非空集合，A={a|a具有性質(zhì)α}，B={b|b具有性質(zhì)β}，則A?B與α?β等價(jià).

證明：(1)如果a1具有性質(zhì)α，那么a1∈A，而A?B，所以a1∈B，因此a1具有性質(zhì)β，即α?β.

(2)如果a1∈A，那么a1具有性質(zhì)α，由α?β，可推得a1具有性質(zhì)β，所以a1∈B，因此A?B.綜上所述，A?B與α?β等價(jià).

在教師提出用列表形式呈現(xiàn)子集和推出關(guān)系時(shí)，學(xué)生們馬上清晰得出相應(yīng)結(jié)論，這樣的呈現(xiàn)方式，也給學(xué)生以列表對(duì)比找關(guān)聯(lián)的啟發(fā)，同時(shí)在猜想出結(jié)論后通過嚴(yán)格證明，培養(yǎng)了學(xué)生的理性思考的精神.

案例3建立數(shù)學(xué)模型推廣一般結(jié)論

在平時(shí)的練習(xí)中，我們經(jīng)常遇到相似問題，每一次解決起來都有些繁瑣，有時(shí)一錯(cuò)再錯(cuò)，學(xué)生會(huì)向老師請(qǐng)求幫助“老師，這樣的問題有更簡(jiǎn)便的做法嗎？”數(shù)學(xué)學(xué)科在解題技巧上，講究通性通法，而對(duì)同一類問題，我們也可以根據(jù)學(xué)生提出的一類問題是否有特殊的解決辦法這樣的問題，建立數(shù)學(xué)模型，推廣到一般結(jié)論.案例如下：

一、引入課題

我們?cè)谧鳂I(yè)中遇到過這樣一道高考原題：

引例(2014安徽)若函數(shù)y=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，求a的值.

圖1

思考：此題有幾種做法．

(解法一)分類討論、零點(diǎn)分段.

當(dāng)a≥2時(shí)，f(x)=

當(dāng)a<2時(shí)，f(x)=

圖2

綜上可知，a的值為-4或8.

(解法二)幾何意義：距離之和.

解法一是此類問題的常規(guī)解法，不過解法二更加高效簡(jiǎn)潔，形象生動(dòng)．將上述例題看作是2個(gè)絕對(duì)值相加的問題，那么如果改變題中絕對(duì)值的個(gè)數(shù)，如3個(gè)、4個(gè)……絕對(duì)值相加，問題的情形會(huì)發(fā)生哪些變化，它們的一般情況是什么樣的呢？今天我們就這個(gè)問題做一個(gè)深入的探究．

二、建立模型的過程

我們把形如f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-an|,其中a1≤a2≤a3…≤an,x∈R的函數(shù)稱作絕對(duì)值和函數(shù)．根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，f(x)在其定義域上沒有最大值，而有最小值，并且最小值處的自變量取值與函數(shù)中絕對(duì)值的零點(diǎn)ai,1≤i≤n有關(guān)．

問題分析：類似于例題的情況，當(dāng)奇數(shù)個(gè)絕對(duì)值相加時(shí)，數(shù)的幾何意義為數(shù)軸上的一點(diǎn)x到n個(gè)零點(diǎn)的距離之和．

模型檢驗(yàn)：x0的選取與零點(diǎn)的個(gè)數(shù)n有關(guān)，與每個(gè)點(diǎn)之間的距離無關(guān)，特別的，當(dāng)兩點(diǎn)間的距離為0時(shí)，上述模型仍適用．

結(jié)語：邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).邏輯推理主要表現(xiàn)為：掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達(dá)與交流.

在平常的教學(xué)活動(dòng)中，挖掘教材的推理與證明的素材，找到試題中類比于猜想的相似問題，可以從教材和試題出發(fā)，以此為契機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生在課堂上和練習(xí)中提升推理和證明的能力.