泰勒公式在一類導數問題中的應用

福建省泉州第五中學 (362000) 王文佳 楊蒼洲

導數問題中參數范圍的確定、分類討論時界點的尋找，及如何恰當的構造函數是導數部分的難點，也是高考及各級模擬考常考的難點和熱點.其中，大多數時候我們對自己所構造的函數有一種“不信任”，即不確定其是否會達到我們所預想的效果.究其原因是忽略了一元函數泰勒展式在解決含參數問題中的重要作用.本文以高頻出現的指數函數f(x)=ex為例，說明在一類問題中如何應用泰勒公式快速的確定參數范圍，同時闡明此類問題中構造函數的隱含理論支撐之所在.

1.函數f(x)=ex在x0處的泰勒公式

2.用泰勒展開式預測參數的取值范圍

例1 (2010新課標全國理科21)設函數f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.

評注：(ⅰ)關于構造函數g(x)，由于原題目中最高次項為x2，所以只取函數y=ex的泰勒展式前三項，即到二次項；

(ⅱ)關于函數g(x)的值域，由其泰勒展式可知g(x)一定非負，所以可大膽證明g(x)≥0；

(ⅲ)關于參數在另一半取值不合題意的討論，主要就是尋找導函數零點的問題，然后利用函數單調性說明此種情況不合題意.

例2 (北京四中2018-2019學年高三上學期理科期中考試)已知函數f(x)=e3x-1-3x-ax2，a∈R.

(Ⅰ)當a=0時，證明：當x≥0時，f(x)≥0；

(Ⅱ)當x≥0時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍

解析：(Ⅰ)略；(Ⅱ)記g(x)=f′(x)=3e3x-3-2ax，則g′(x)=9e3x-2a.

例3 (安徽屯溪一中高二理科期考)已知函數f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)當a=0時，求證f(x)≥0；

(Ⅱ)當x≥0時，若不等式f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍；

(Ⅲ)若x>0，證明(ex-1)ln(x+1)>x2.

解析：(Ⅰ)略；(Ⅱ)與前面例1幾乎完全一致，過程略；

綜合以上問題我們已經發現：

(ⅱ)泰勒公式為我們提供了用多項式替換超越式的思想及具體方法.

3.結束語

泰勒公式是一個用函數在某點處的信息描述其附近取值的情況的公式，其實是用可導函數的各階導數值做系數構建多項式來近似函數在某點鄰域中的值，高中階段常用的即為本文開篇提到的函數f(x)=ex在x0處的泰勒公式或它們的變式，在構造函數的過程中老師們也往往較為生硬的告訴學生只有這樣構造才能做出來，導致一種學生只知其然，不知其所以然的局面.泰勒公式給我們的啟發之一是函數的構造變得不再生硬，有血有肉；啟發之二是可以作為討論參數分界點的一個指導.