“倒序相加法”簡解一類絕對值函數(shù)最值問題

江蘇省徐州市侯集高級中學(xué) (221121) 李培穎

絕對值函數(shù)的最值問題歷來是高考、自主招生、競賽常涉及到的問題.筆者在今年高三二輪復(fù)習(xí)中針對絕對值函數(shù)最值問題進(jìn)行了專題復(fù)習(xí)，講解了一類絕對值函數(shù)的最值問題.其中2011年北大自主招生第7題(壓軸題)最為典型，現(xiàn)在將這道試題的解法及分析與大家共賞.

題目(2011年北大自主招生第7題)求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|的最小值.

本題涉及的是傳統(tǒng)的絕對值函數(shù)的最值問題，學(xué)生最初接觸到的是求解兩個或三個絕對值相加的函數(shù)最值，最常用的方法是找零點(使絕對值為0的變量的值)分區(qū)間分類討論法.即通過分類討論將絕對值這一“面紗”揭開，將函數(shù)化為一個分段函數(shù)，逐段求解最小值，然后進(jìn)行比較得出函數(shù)的最小值，這種方法我們稱之為“零點分段法”.此題是一個典型的“年代題”，含有2011個絕對值，僅僅是絕對值個數(shù)的增加，顯然可以使用“零點分段法”，下面是這種方法的求解過程.

解法一：令f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|.

-1-2-3-…-2010+2011;

我們知道，求解絕對值函數(shù)y=|x-a|+|x-b|的最小值問題，除了使用“零點分段法”，還可以利用絕對值的幾何意義求解.由|x-a|+|x-b|表示數(shù)軸上的點(x,0)到點(a,0)、(b,0)的距離之和，其最小值為|a-b|，當(dāng)ab)時，在x∈[a,b]([b,a])時取得；當(dāng)a=b時，在x=a=b時取得.利用這種方法求解顯然比“零點分段法”簡潔的多.但問題是|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|中x的系數(shù)不都是1，無法使用幾何意義求解，接下來該怎么辦呢？其實將函數(shù)f(x)的表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)變形，就可以使復(fù)雜的問題柳暗花明.

解法二:令f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|，將其變形為

點評：“零點分段法”一般先討論去絕對值，再利用函數(shù)的單調(diào)性等知識，以及數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題，是解決絕對值函數(shù)的常規(guī)方法.但面對本題這種絕對值個數(shù)較多時，過程明顯比較繁瑣.解法二則是對函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)改造，巧妙地利用絕對值的幾何意義，使問題輕松獲解.這種方法形式上類似于等差數(shù)列前n項和的推導(dǎo)方法，筆者稱之為“倒序相加法”.高考中，類似的問題曾經(jīng)出現(xiàn)，比如2014年高考安徽卷(理科)第9題：若函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，則實數(shù)a的值為( ).(選項略去)“零點分段法”可以求解，但“倒序相加法”要簡單很多，幾乎達(dá)到了“秒殺”.再比如此類問題也受到了數(shù)學(xué)競賽命題者的青睞.2009年全國中學(xué)生數(shù)理化解題技能競賽高二數(shù)學(xué)決賽第12題與以上兩題一脈相承.原題如下：已知函數(shù)f(x)=|x+9|+|x+8|+|x+7|+…+|x-29|+|x-30|，若存在實數(shù)m，使得不等式f(x)>388+|m2-15|對于?x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.使用“倒序相加法”亦可以使問題輕松破解.