不憤不啟 不悱不發
——從一道導數壓軸題的解題教學談起

廣州大學附屬中學 (510050) 韓智明

我國著名教育家孔子說：“不憤不啟，不悱不發.”意思是不到他努力想弄明白而得不到的程度不要去開導他；不到他心里明白卻不能完善表達出來的程度不要去啟發他.我想我們的數學教學活動特別是解題活動也應該如此，正如孔子又說：“舉一隅不以三隅反，則不復也.”意為：“如果他不能舉一反三，就不要再反復給他舉例了.”在大量的教學活動中，如果通過大量的變式練習還不能讓學生掌握和理解，就應該反思和改進我們的教學方法和策略了.下面這道習題是一道高三復習備考導數壓軸題，我在課堂習題講解的過程中伴有曲折、疑惑和驚喜諸多情感成份，現與大家一起分享.

試題已知函數f(x)=axex-(a+1)(2x-1).

(1)若a=1，求函數f(x)的圖像在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)當x>0時，函數f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

參考答案是這樣給的：

解法1：(1)問略：

法①：由題意，得f′(x)=a(x+1)ex-2(a+1).令f′(x)=h(x)，則h′(x)=a(x+2)ex在x>0時恒為正數，∴函數h(x)即f′(x)在(0,+∞)上單調遞增.而f′(0)=-2-a<0,f′(1)=2ea-2a-2≥0，∴f′(x)存在唯一根x0∈(0,1]，且函數f(x)在(0,x0)上單調遞減，在(x0,+∞)上單調遞增，∴函數f(x)的極小值也是最小值為f(x0)=ax0ex0-(a+1)(2x0-1)，故只需f(x0)≥0即可.

當老師們看到第(2)問這種解法后，感到方法巧妙地同時又有點蒙的感覺，學生看到后更是百思不得其解，共同的疑惑是為什么要取值1，而不是其它的數，而且代入1正好是參數a的取值范圍，這其實就是證明不等式恒成立時所運用的一種證明方法，即必要性探路法.縱觀各種教輔資料關于運用必要性探路法證明不等式恒成立問題的時候，從來都沒有把證明過程說清楚，代什么數？為什么代某個數正好得到參數范圍？都是給出答案的人在幕后操作，很少走向前臺，有些老師少于研究不知個中緣由，更不要說接受教育的學生了.于是見到這種方法解題，多數老師直接避開或尋找其它的解題方法了，甚至教育學生不要用這種不好解釋的方法解題，放任學生的一片迷茫.我當然也是一樣，準備轉戰其它“戰場”尋找更通俗易懂的方法去解決，然而幾個平時數學基礎較好的學生在下面則要求弄懂為什么？

圖1

這時我們畫出兩函數圖像如圖1可知，當x取1時顯然是兩條曲線的臨界點，如果x取其它值得到的a的取值范圍則是當x取1時得到a的取值范圍的子集，故在本題中x應該取1，只是出題人隱去了這一思維步驟，這種方法叫做必要性探路法，即在進行一個數學問題轉化的時候主要特別注意問題的等價性，也就是需要同時考慮充分性和必要性.但很多時候，為了尋找突破口(尤其是突然有個猜想)時，往往需要先利用必要條件(或充分條件)探路，然后驗證其充分性(或必要性)，這種方法主要用在證明恒成立問題當中.

同學們聽了只這種解釋，臉上有贊嘆，有驚喜但更多地是茫然.

生2：那今后我們是不是遇到恒成立問題，首先想到用這種方法處理呢？

師：我覺得這種方法不是通解通法，在解題時最好慎用！其實根據這種解法，先用必要性探路找a的取值范圍時，做題之前是要做很多鋪墊的工作，當確定a的范圍后，第二步就只要證明其充分性滿足就可以了，其本質是切線放縮和尋找切點的問題，下面我給出證明充分性的第二種證法.

法②：由f(x)=axex-(a+1)(2x-1)得f(x)=a(xex-2x+1)-2x+1.

令N(x)=xex-2ex+e，∵N′(x)=(x+1)ex-2在(0,+∞)上單調遞增.由N′(1)=0易知

師：第二種解法主要是證明a的系數為正數，然后根據a的范圍進行放縮得到證明.(這時候學生思維氣氛較活躍)是不是我們看到這種解法，此題就沒有其它的解法呢？這種方法雖然巧妙但是操作性不強，其實在解決有關恒成立問題時還是有很多方法的，當運用某種方法處理數學問題思維受阻時，要勤于思考，嘗試改變思維方式.

生3：我直接構造函數處理，發現求導后非常復雜，看到上面第二種解法后受到啟發，直接把有關a的系數分離，運用參變分離法處理也是可以的.

師：很好！參變分離法是解決恒成立問題常用的方法，于是得到解法2.

解法2：(1)問略：

生4：我剛才也是這么想的，但是看到分母太復雜，計算量挺大，沒有信心計算下去，原來還是可以的.

師：既然生4感慨生3的解法計算量太復雜，那我們再思考一下，有沒有可以簡化計算的方法呢？

生5：由前面解法中得到a的范圍是正數，如果能先證明出a是正數的話，分參就可以重新組合就可以簡化計算.

師：是個很好的思路，繼續看看是否有其它方法.

生6：我們可以通過通過取x的某些值使得當a≤0不恒成立，來限定a的取值范圍.

師：精彩！這樣的話我們就我們就可以把不等式中的與參數a有關的整體通過重新組合完全分理出來，這樣一來所構造的函數就會顯得簡單，便于計算，下面看解法3.

解法3：(1)問略：

(2)由題設條件知，當x>0時，函數f(x)≥0恒成立，即axex≥(a+1)(2x-1)對任意x>0恒成立.

①當a=0時，取x=1，不等式不成立，故a≠0；

看到這種解法，課堂上氣氛高漲，很多同學覺得這種解法避開復雜的計算，使問題顯得簡單、操作性強且容易接受.

生8：這種解法的本質與解法3的處理策略是一樣的，不過也不失為一種好方法.

師：非常好！生7的解法也屬于化繁為簡的參變分離思想，也同樣易操作、容易被大家接受和學習！(這時響起熱烈的掌聲！我想這掌聲不只是為某位學生或是某種解法，而應是為這種通過思考和啟發喚醒大家思維的模式.)生7的解法如下.

解法4：(1)問略：

分類討論：

師：這種方法很妙！通過重新組合構造函數證明不等式，也是一種重要的思想方法，結合函數圖像轉化和揭示參數所隱含的幾何意義去求解，此法重在結合圖像，要通過數學語言說清楚才是，下面根據生9的思路給出解法5.

解法5：(1)問略：

令m(x)=(x+1)ex，則由m′(x)=(x+2)ex>0知m(x)在(0,+∞)單調遞增.

圖2

如圖2，可知g(x)在(0,+∞)單調遞增且是凹函數.

師：通過大家對此道習題的分析，以上五種方法其實就是解決恒成立問題的思想和方法，我們一起來歸納一下：①利用必要性探路法；②直接一階或n階求導后分類討論(此題較為復雜)；③直接參變分離法；④重新組合構造函數再進行參變分離；⑤變形構造函數通過數形結合.其實在面對一道習題的某種解法或某個問題，我們要找尋破解的突破口，分析題設結構，合理變式思考，善于變通解題思路，就會打開解題活動的閥門.

反思：通過這堂解題方法探究課，我有深刻的體會.我們在課堂上進行數學教學活動特別是數學解題教學活動時，其中一個首要任務就是教會學生怎樣思考問題，怎樣審題、怎樣尋找解題的突破口以及靈活變通.也就是說在解題教學的課堂上，當學生遇到一個陌生的數學問題或是看到某個難題的奇妙的解法弄不懂時，作為教學的組織者，我們除了傳道、授業以外，解惑也是一個非常重要的環節.在高三后期的復習備考中，訓練的綜合性讓試題的難度和深度都有加大，特別是一些壓軸題的解題思路不容易發現甚至給學生不好講解，有些試題的解決處理方法多種多樣，當遇到這種情況的時候，某些教師嚴格遵循復習資料的參考答案，拘泥于參考答案的方法，讓學生限于機械被動的接受學習中，缺乏解題前的準備，雙方的互動和活動鋪墊不夠，對學生的能力和知識儲備不了解，也就是說沒有認清學生已經具備的認知結構，這樣就根本就不能達到訓練學生解題思維的效果，結果是當學生在每次遇到這種問題時仍然是一籌莫展.

“幫助學生學會數學地思維”是我們進行數學活動的核心所在，即在數學問題的解決過程中幫助學生理解數學問題的本質，要讓學生學會用數學的思維思考問題，只有我們老師自己從觀念上明白了所教授的數學問題的內容和本質，才能教給學生真正的數學，才能站在教學研究的制高點，準確把握數學學科的本質，才能知道學生什么時候需要和需要什么的問題，才能成為數學教育功能的執行者和傳播者.

一堂好的數學解題活動課堂不應該是平淡的，特別是對一道精彩習題的解法探究活動更不能是暗淡無趣的.它應該是在老師的啟發和引導下激發學生無限的思考，讓鮮活、靈動的數學思維彌漫整個數學活動的空間，空間中我們需要有問題的懸念、思維的沖突和頓悟后的欣喜.在解題的課堂，老師無需按照自己事先設定的程序行走，應該遵循學生思維的發展進程，及時發現學生的“誤”和“惑”，通過師生雙方參與對解題策略和方法進行思考和啟發，防止學生思維僵化和在一條路上走到黑.在看似就要達到解決問題的彼岸但卻遇到百思不得其解的困難之時，教師恰到好處地從處理策略或思維方法的高度進行點撥，就會點燃學生思維的火花，就會讓學生學會數學地思維方法，感受數學思維邏輯的無窮魅力，也才能真正達到大教育家的“不憤不啟，不悱不發”的教育境界.