一道高考題的源、解及其它

廣東省佛山市高明區高明實驗中學 (528500) 林建雯廣東省深圳市南頭中學 (518052) 田彥武

一、問題呈現

已知函數f(x)=aex-lnx-1．

(1)設x=2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區間；

該題為2018年全國新課標Ⅰ卷文科第21題，題目著重考查應用導數研究函數的問題.題目所涉及到的知識點有應用導數研究函數的單調性，應用導數研究函數的極值與最值，利用單調性證明不等式等.本題很好的考查了數學邏輯推理和數學基本運算能力以及用數學語言表達數學問題的能力，特別是第(2)小問，學生可通過對已知函數解析式進行觀察、比較、綜合、抽象與概括，進而構造新的函數再次運用導數解決不等式，以此來考查學生創新能力及綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力．

導數進入中學教材，給傳統的中學數學教學帶來了生機和活力，為中學數學研究提供了新的視角、新的方向、新的方法和新的途徑，可以說在函數命題這一塊開辟了新的空間.函數與導數的綜合問題所涉及的知識和數學思想方法豐富，與函數、導數、方程、不等式等眾多主干知識聯袂會具有新穎別致、不落俗套等特點.同時，此類題目引入參數后，更深層次的蘊含數形結合、分類討論、構造等數學思想方法，綜合考查學生的各種能力.特別是自然對數函數和以e為底的指數函數在近幾年的高考數學命題中很受命題者的青睞和器重！有時這兩種函數也會同時出現！以全國Ⅰ卷文科數學第2問為例來說：2018年不等式證明，2017年已知不等式恒成立求參數取值范圍問題，2016年函數零點問題，2015年證明不等式，2014年不等式有解問題，2013年單調性、極值，2012年不等式恒成立問題，2011年證明不等式等．但是，無論怎么考，討論單調性都是考查的重點.

二、問題的源

1.源自課本

本題第(2)問的設計完全取自于人教A版數學選修1-1第三章《導數及其應用》第3.3單元《導數在研究函數中的應用》中的習題3.3B組題：

利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：

(3)ex>1+x，x≠0；

(4)lnx0.

其實，我們對不等式(3)和(4)的條件放寬并變形，會得到如下不等式：

(3)′ex≥1+x，x∈R；

(4)′lnx≤x-1，x>0.

關于考題與課本題目的關系我們在下文中詳細講解.

2.源自高考題

仔細對比發現2015年全國高考Ⅰ卷文科第21題第(2)問和本題第(2)問有異曲同工之處，函數解析式的特點也好，還是第(2)問的解法也罷，的確比較類似.原題如下：

設函數f(x)=e2x-alnx．

(1)討論f(x)的導函數f′(x)零點的個數；

從課本中改編題目，從往年高考中改編題目，是高考命題一貫的原則，所以認真研究課本中的例題、習題，特別是B組的部分題目，認真研究往年經典的高考題目，是我們教學中的重要一環。關于本題和2015年考題之間的關系及其解法，請讀者自行研究，這里就不再贅述了.

三、問題的解

下面我們給出文首高考題的解法：

第(2)問是本題的關鍵與核心所在，方法比較多，以下提供三種證法：

目前，這一傳統文化習俗雖然不如過去那樣熱烈濃厚，廣泛得到傳承，但在梅里斯達斡爾族區已成為節日活動，每逢正月十六這一天，達斡爾族學會都要組織活動，載歌載舞慶祝這一具有達斡爾民族特色的傳統節日。

我們先證明不等式：ex-1≥x.此即為不等式(3)′.令g(x)=ex-1-x，則g′(x)=ex-1-1，當x∈(0,1)時，g′(x)<0，g(x)為減函數；x∈(1,+∞)時，g′(x)>0，g(x)為增函數.則g(x)min=g(1)=e0-1=0，即ex-1≥x．

點評：本證法很好的利用了課本中的那兩個不等式，可以說這個高考題完全取自于教材而又高于教材，這是高考命題的基本原則之一.而上述證法也很漂亮直接.當然，上述兩個不等式畫圖也很容易理解.

點評：本證法也是我們解決恒成立問題一貫采用的方法和手段，即分離參數，轉化成求最值問題.這個思路簡單，容易想到，難點在于構造新的函數，研究新的函數的最值問題，需要學生有很好的運算能力和意志品質，要有耐心和耐力以及自信心等.

四、問題的拓展

其實，只要我們認真研究會發現，2019年天津高考文科第20題，也正好包含了自然對數函數和以e為底的指數函數，所研究的方法和手段基本一致，但又略高于文首的高考題.可以說天津的考題應該是命題者在充分研究全國Ⅰ卷文科的這道高考題目后所命制出來的一道題目.不同的是在設問上有所不同，涉及到函數的零點和極值點偏移問題，具體解答請大家自行研究，此處不再贅述了.

設函數f(x)=lnx-a(x-1)ex，其中a∈R.

(Ⅰ)若a≤0，討論f(x)的單調性；

另外，以下不等式也是很重要的一個不等式，在函數與導數的命題中會經常出現，讀者可自證.

求證：ex≥x+lnx，x>0.

五、教學建議和反思

新一輪課程改革和教材改革正在進行中，與以往相比，這次更具有深遠意義．特別是在這其中提出了六大數學核心素養和很多新的教學理念，如《課程標準》提倡注重提高學生的數學思維能力，并指出：“人們在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納模擬、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、資料處理、演繹證明、反思與建構等思維過程．這些過程是數學思維能力的具體體現，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和作出判斷．”因此，教師在教學中處理題目時不能就題論題，應該正確引導學生認真挖掘題目的內涵和外延，使學生認識到編題者編寫這些題目的意圖，這不僅不斷完善學生的數學知識結構和認知結構，而且能激發學生對教材題目研究的興趣，這對培養學生的探究能力、創新能力和實踐能力是大有裨益的．《課程標準》同時指出：“高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質．數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態．”因此，“在教學中，如何從課本例習題出發，進行變式教學，無論從方法還是內容上都起著‘固體拓新’之用，可收到‘秀枝一株，嫁接成林’之效，同時可培養學生提出問題和解決問題的能力，并使學生的探究能力和創新能力得到發展．”

其實，從上述對題目的淵源分析及解法分析來看，這樣的命題風格不僅章顯了命題人的智慧，而且還警示我們用題海戰術處理高考復習是徒勞的，教師必須高瞻遠矚地研究和探討歷年高考經典試題，分析這些題目的背景及更深層次的東西，挖掘其數學思想和方法，從內涵和外延兩個角度去認識和理解，這樣我們的高考復習既高效，又省力．