奔馳定理的應用與推廣

安徽省合肥市第一中學 (230601) 谷留明

向量兼具代數與幾何的特征,是聯系起代數與幾何重要橋梁．關于向量的線性表示與三角形面積的比值的問題,經常在段考、高考、自主招生考試、競賽等考試中出現,且往往是選擇題、填空題中的較難題,學生的解答情況一般不是很好.其主要特征是：已知三角形內任意一點,給出相關向量的線性表達式,然后求相關三角形面積比,或者反過來設問．下面通過前兩道引例的求解和思考,總結出一個定理并證明,然后此定理解決引例3和4,最后對此定理進一步推廣.

從以上兩個引例的分析過程和結果,發現相關面積之比與相應向量的系數有巧妙的規律.由此經過歸納,猜想可以證明以下定理.

用分析引例1和2中的方法均可以證明上述猜想是正確的,這里不再贅述.

這是一個非常巧妙的結論,因為其對應的圖形與奔馳轎車logo非常相似,可形象地稱之為“奔馳定理”.

用定理1,引例1和2直接得解.用這兩個定理,可得到引例3和4的巧妙解答.

1-λ-μ和λ趨近于0,從而μ趨近于1,λ+2μ趨近于2.綜上所述,λ+2μ∈(0,2).

定理中點O在三角形邊上或外部,會怎樣呢？

推廣1 設O是△ABC所在平面內一點,且有

用分析引例1和2中的方法仍可以證明上述推廣結論.

注1：點O在△ABC的邊所在直線上(不含頂點)時,x，y，z中有且僅有一個為0.比如點O在直線AB上(不含頂點)時,必有z=0,xy≠0.此時,SA∶SB=|x|∶|y|,SC=0.

注2：點O在△ABC的頂點時,x，y，z中有兩個為0.比如點O在頂點A時,必有y=z=0,x≠0.此時,SB=SC=0,SA=S.

以上定理和推論是二維平面中的結論.在一維直線和三維空間中又會有何類似的結論呢？

這個結論顯而易證,且與定比分點公式緊密相關.