一道直線與橢圓題的解法展示及拓展探究

江蘇省海門中學 (226100) 徐巧石

深化能力立意，突出能力與素質的考查始終是高考數學的導向與主題.在考試中構造有一定深度和廣度的數學問題時，要注意問題的多樣性，體現思維的發散性.2019屆高三蘇州期初考試中的直線與橢圓一題題干簡潔明了，角度小，立意新，有深度，能夠激發學生的思維.本文就本人在此題評講中學生給出不同的解法進行整理評析，最后對該題進行一般性拓展探究.

圖1

一、題目

二、解法展示

解法一：由橢圓的對稱性可知直線MN的斜率一定存在，設其方程為y=kx+1．設M(x1,y1),N(x2,y2)．

評析：此法是學生容易想到的處理方式利用點在直線上轉化，但是需要解一個無理方程.學生如果有信心往下寫的話，發現此方程可以因式分解降次處理便迎刃而解.其實這種處理無理方程在江蘇高考中一直有所考察，2012年江蘇高考試題19題第一問中官方提供的參考答案便是這種處理方法.在高三的復習中要加強對學生運算信心的訓練.

評析：此法觀察到點A,B關于原點對稱，想到了橢圓中常用的二級結論，將兩直線斜率間的倍數關系轉化為過同一點兩直線斜率間的乘積關系，將不對稱結構轉化為對稱結構，解法一中遇到的問題便可化解.在高三的復習中一些常見的結構需要給學生搭建起命題網絡.

評析：此法將對稱運用到了極致，完全不需要復雜的運算，便可得到答案，十分巧妙.看似沒有用到直線與橢圓聯立，實際上在得到kAN=2kBM已經利用M,N在橢圓上，又兩次運用M,N在直線y=kx+1上，將直線與橢圓相交隱藏對稱的結構中.

轉化與化歸思想一直是高中數學的重點考察的思想方法，對于題干的等價表述也體現了學生的轉化能力，若學生能夠對題干從不同的角度重新構圖，有可能得到其它的方法.例如：

等價表述1：如圖1，過點A作斜率為k1直線AM與橢圓E交于M點，過點B作斜率為k2的直線與橢圓E交于N點，若k1=2k2，且M,N,C(0,1)三點共線，求直線MN的斜率k(k>1).

評析：此法通過轉化M,N產生的方式，利用M,N,C三點共線得到直線MN的方程.處理1,2利用k=kCN=kCM=kMN整體代換求出斜率k；處理3對于處理的問題要有目標意識，利用分式的合比定理整體取得，技巧性較高，對于數據的處理有較高的要求.

新的數學課程標準提出了數學學科的六大核心素養，其中邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式.若該問題中去掉三點共線，由k1=2k2能確定直線MN的斜率嗎？為什么加上一個C點后就可以確定直線MN？k1=2k2這一條件確定了直線MN的什么量？經過這幾個追問可以推知直線MN過定點.由對稱性可知定點應在x軸上.所以題目可以先分解為:

如圖1，過點A作斜率為k1直線AM與橢圓E交于M點，過點B作斜率為k2的直線與橢圓E交于N點，若k1=2k2，證明直線MN過定點.

評析：此法通過邏輯推理推得直線MN過定點，進一步揭示了本題的命題背景.實際上此題背景是2010年江蘇高考試題的一個結論.

評析：此法通過直線與直線的交點在橢圓上，得到k的值.此種表述方式在2016年江蘇高考17題中得以體現.實際上題干的三種不同表述是從三個不同的角度產生點M,N.在平常的教學過程中要讓學生能夠從不同的角度看待問題，新的角度可能產生意想不到的收獲.當然，學過競賽的學生還想到運用了二次曲線系去解決上述問題，由于二次曲線系不在高考的考查范圍，所以不再做詳細的解答.

三、拓展探究

將上述解法三一般化可得如下命題：

該命題的逆命題也成立：

由解法四將原題一般化可得：

由解法六可得：

由解法六中聯想到2010年江蘇省高考題可得：

命題4的逆命題也成立，因將命題3中的條件kAM=μkBN(μ>0)進行等價轉化可得：

上述命題中若將長軸頂點A,B改為短軸頂點，同樣有相應的結論；若將橢圓改為雙曲線類比亦可得相應的結論，限于篇幅，不在一一贅述.