《數(shù)學通報》第2414號問題的推廣

貴州省都勻一中 (558000)

夏開平

這是《數(shù)學通報》2018年第4期數(shù)學問題解答欄目中刊載的2414號問題，它形式優(yōu)美，內(nèi)涵豐富.細讀安老師利用構(gòu)造三次函數(shù)結(jié)合導數(shù)知識給出的證明，受益匪淺.深入探究發(fā)現(xiàn)，該問題可以做如下推廣：

證明：由已知a,b,c>0，a+b+c=3，λ≥1.

由簡單不等式3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2=32=9，得ab+bc+ca≤3.由(a-1)2b+(b-1)2c+(c-1)2a≥0展開并移項整理得a2b+b2c+c2a≥2(ab+bc+ca)-3.所以λ(a2+b2+c2)+(a2b+b2c+c2a)+(λ-1)(ab+bc+ca)-6λ≥λ(a2+b2+c2)+[2(ab+bc+ca)-3]+(λ-1)(ab+bc+ca)-6λ=λ(a+b+c)2+(1-λ)(ab+bc+ca)-3-6λ=9λ+(1-λ)(ab+bc+ca)-3-6λ=(1-λ)(ab+bc+ca)-3(1-λ)=(1-λ)(ab+bc+ca-3)≥0.所以(3)成立，(2)獲證.

在不等式(2)中，取λ=1即可得《數(shù)學通報》數(shù)學問題2414.