基于遺傳算法優化擴展卡爾曼濾波的鋰電池SOC估計

周韋潤,姜文剛

(江蘇科技大學 電子信息學院，江蘇 鎮江 212000)

電池荷電狀態(state of charge,SOC)是鋰離子電池重要的性能指標之一，表示電池的最大剩余容量[1]。在線準確估計鋰離子電池的SOC是設計出高效、合理的電池管理系統的基礎。

目前，國內外常用的SOC估計方法有：① 安時(Ah)計量法[2]：Ah計量法不僅需要準確SOC初始值，而且隨著時間的推移，系統誤差會逐漸增大；② 開路電壓法[3]：開路電壓法需要將電池長時間靜置后才能獲得SOC值，多用于實驗室研究，不適合實際工程的應用；③ 神經網絡法[4]：神經網絡法需要對大量的樣本數據進行訓練，運算量非常大。此外，還有模糊預測法[5]、內阻法和卡爾曼濾波法[6-7]。

現階段，在實際工程中通常采取擴展卡爾曼濾波算法(extend kalman filter,EKF)和無跡卡爾曼濾波算法(unscented kalman filter,UKF)對電池SOC進行在線估計。文獻[8]和文獻[9]提出一種基于模糊神經網絡優化的卡爾曼濾波算法和有限差分算法對電池SOC進行估計，有效避免了非線性函數需用Taylor級數展開，并忽略了高階項引起的誤差。文獻[10]提出利用改進Sage-Husa優化自適應無跡卡爾曼濾波的算法，增加了噪聲估值器對系統誤差進行補償，減少了系統噪聲的干擾。但是在電池實際工作工程中，由于電池充放電程度的加深，電芯溫度升高，忽略了電池的額定容量等參數不斷變化對電池SOC估算精度帶來的影響。文獻[11]和文獻[12]建立溫度補償模型，有效減少了溫度對電池模型參數的影響，但是在對SOC估計過程中，忽略了電池在充放電的始末時刻模型精度不足的影響。

本文基于以上研究中的不足，建立基于BIC準則的變階RC等效電路模型，解決模型精度和實用性的矛盾，采用基于遺傳算法優化擴展卡爾曼濾波算法對SOC進行在線估計，并通過實驗和仿真，驗證算法的有效性。

1 基于BIC準則的變階RC等效電路模型

一個良好的電池模型必須具備以下兩個條件：① 能夠準確地描述電池的動、靜態特性；② 模型本身的復雜程度低，易于工程實現。事實上，鋰離子電池的電壓特性是兩端陡、中間平穩的非線性曲線，采用2階的電池模型雖然易于工程實現，但是容易造成重要數據的丟失，特別是在電池充放電的初期和末期，不能較為精確地擬合電池特性，模型精度較低。而采用3階模型雖然能夠獲得較高的辨識精度，但是隨著模型階數的增加，帶來的計算量也成倍增加，實用性較差。本文在權衡模型復雜程度、精確性和實用性之間的矛盾后，提出以變階RC等效電路模型作為研究對象，其電路原理如圖1所示。

圖1 變階RC等效電路模型

圖1中：Cn為電池在常溫下的額定容量；IL和Ut為電池的端電流和端電壓；Cp1和Rp1為反映電池極化效應的電容和電阻；Cp2、Cp3和Rp2、Rp3為模型的變階電容和變階電阻；開關S1、S2為變階RC模型的切換開關，可以實現1階、2階和3階RC等效電路模型之間的相互切換；R0為歐姆內阻；OCV為電池開路電壓，是關于SOC的函數，可描述為

OCV=a1/SOC+a2lnSOC+

a3ln(1-SOC)a4SOC+a5

(1)

式中a1～a5為基于最小二乘算法辨識的待定常數。

在實際使用中，電池的階數未知，在兼顧模型準確性和簡易性的同時，確定不同SOC處RC模型的階數成為一個難點。由于電池電路模型參數較少，而BIC準則更傾向于選擇參數較少的模型，因此BIC準則的應用便于確定模型的階數，解決了電池模型精確性和適用性的矛盾。

BIC準則的一般形式可以描述為

BIC=kln(N)+2ln(L)

(2)

式中：k為模型參數個數；N為樣本數量；L為似然函數。本文用殘差平方和作為似然函數，可描述為

(3)

式中：Ut為電池端電壓；IL為電池端電流；下標j表示RC網絡標號；τj為RC網絡的時間常數；n為RC網絡階數，其取值范圍為1～3。在式(2)中，ln(L)、和kln(N)分別表示模型擬合的優良性和擬合過程中的懲罰力度，隨著模型擬合程度的加深，這2個值均變得很小，能夠避免過度擬合的情況。

由圖1可知，1階RC模型需要辨識開路電壓OCV、電池內阻R0、極化內阻Rp1和極化電容Cp1四個參數。隨著模型階數的增加，每增加1階，需要增加2個待辨識參數，因此模型參數的個數k和模型階數的關系可表示為

k=2n+2

(4)

將式(3)和(4)代入式(2)即可得到基于BIC準則的RC階數選擇模型：

(2n+2)ln(N)

(5)

基于BIC準則建立的模型可以確定不同SOC處的模型的最優階數，模型兼顧了實用性、準確性和簡易性等要求，可以較好地提高對鋰離子電池兩端陡、中間平穩的非線性電壓特性的辨識能力，為精確的SOC估計提供了合適的電池模型。

傳統SOC估算策略中的狀態變量是模型中的電容、電阻和SOC，但是模型中的參數都是關于SOC的函數，因此對于同一模型，在同一時刻可能會有多個SOC的解，從而導致估計結果非法。為了避免這個矛盾，假設電池模型中的電容電壓在初始時刻為0，則可以得到以下遞推公式：

Upj,k=exp(-Δt/τj)Upj,k-1+

Rpj(1-exp(-Δt/τj))IL,k

(6)

式中：Δt為采樣周期，設采樣周期為1 s，IL,k為第k時刻的電流采樣值，Upj,k為第j個RC網絡在k-1時刻的端電壓。

為了減少在SOC估算過程中變量參數的個數，本文將SOC作為唯一的狀態變量建立狀態方程，則系統狀態方程為：

SOCk=f(SOCk-1,IL,k-1)=

(7)

式中：η為庫倫系數，可以通過電池充放電測試獲取；C為電池的標稱容量；ωk為系統隨機噪聲。

系統的觀測方程由圖1和式(6)確定，則觀測方程為

(8)

式中：n為變階RC模型的階數；νk為系統測量噪聲。整個觀測方程Ut,k是關于SOC的函數。

2 基于遺傳算法優化EKF的SOC估計

2.1 EKF算法

對于非線性的離散系統，其狀態方程和觀測方程分別是[9-10]：

(9)

式中：XK+1為K+1時刻系統狀態矩陣；f(XK)為K時刻系統狀態轉移方程；ZK+1為K+1時刻系統測量矩陣；h(XK+1)為K+1時刻系統測量方程；WK、VK+1是期望為0的白色噪音。

對于系統干擾WK、測量噪音VK+1和狀態方程初始量X0可做如下特性的假設：

E{XK}=0，E{VK+1}=0,E{X0}=μ0

(10)

E{[X0-μ0][X0-μ0]T}=P0

(11)

Cov{WiWj}=W=diag{w1w2w3w4w5w6}

(12)

Cov{ViVj}=V=diag{v1v2v3v4v5v6}

(13)

FKXK+WK

(14)

HKXK+1+VK+1

(15)

將狀態方程和觀測方程線性化后即可啟動卡爾曼濾波算法，設模型輸入為uk，算法遞推過程如下：

XK+1|K=f(XK,uK)

(16)

PK+1|k=fX(K)PkfX(K)T+W

(17)

(18)

PK+1=[I-KK+1HK]PK+1|K

(19)

XK+1=XK+1|K+KK+1(Zk+1-HKXK+1|K)

(20)

采用卡爾曼濾波算法對電池SOC值進行在線估算。由于電池模型參數在2個相鄰采樣周期內變化緩慢，因此鋰電池的非線性狀態方程和觀測方程可標記為：

(21)

根據式(6)～(8)和(21)，可做如下定義：

(22)

式中：xk+1為系統狀態矩陣；uk為系統輸入變量，在電池模型中，輸入變量為電池端電流；A為f對x求偏導的雅克比矩陣；B為f對u求偏導的雅克比矩陣；H為Ut對x求偏導的雅克比矩陣。

得到xk和yk后，可根據本文介紹的EKF算法對模型參數進行在線聯合估計。由EKF的遞推公式可知，隨著濾波步數的增加，模型假設的初始狀態矩陣x0與實際狀態矩陣不一致時，對系統的影響較小。而系統干擾wk、觀測噪音vk是對模型參數估計精度產生影響的主要因素。由于其初始值需要在濾波之前給出，且隨著濾波步數的增加保持不變，因此為了確保模型參數的估計誤差呈漸進收斂性，噪聲矩陣的選取至關重要。一般而言，為了取得較高的辨識精度，需要選取多個噪音矩陣多次試驗進行對比，但是效果不是很好，并且獲取的過程十分困難。

2.2 采用遺傳法優化EKF噪聲矩陣

實際上，對于噪音矩陣的辨識可以轉化為約束條件含參的最優問題。理論上，要求EKF噪聲矩陣服從正態分布，但是在電池實際運行過程中，其噪聲矩陣是一組隨機數。本文采用遺傳算法獲w、v的最優解。與傳統的辨識方法相比，遺傳算法的優勢在于只需要目標函數的值就可以隨機選取符合條件的最優參數，因此遺傳算法對尋找最優的EKF噪聲矩陣具有一定的可行性和高效性。

在模型的狀態方程和觀測方程中，干擾矩陣有1個變量，觀測噪音矩陣有1個變量，它們的協方差矩陣是對數矩陣，分別取為：

w=diag(w11)

(23)

v=diag(v11)

(24)

將干擾矩陣和噪音矩陣中的2個待辨識的參數合成1個矢量向量，該向量為：

ε=(w11,v11)

(25)

通過GA算法對符合種群條件的最優參數進行求解。

為了增強搜索能力，采用二進制式的編碼方式。將向量ε中的元素進行二進制編碼得到子串，將k個子串鏈接到一起，形成一個完整的染色體，記作εb。將最初隨機產生的一組數目組成種群，即隨機產生由m個二進制串組成的矢量：

(26)

這個矢量構成初始種群，作為遺傳的初代。每代的每個個體元素的上、下限的約束條件為：

g=1,2,3,…,gmax

(27)

(28)

式中L表示需要進行估計的長度，個體L越大，搜索的范圍就越廣，反之則越小。

按照式(28)所示的目標函數計算每個個體的適應度，按照取比例選擇的方式，將已有的父代個體按照目標函數的值從大到小排列，將最前面的Lex個個體作為優秀個體直接傳遞到下一代中[13-17]。若在此操作中，某個個體的估計誤差超過了預計誤差的最大上限時，需要將該迭代個體舍棄。該個體必須滿足的條件是：

(29)

將剩下的個體放入匹配池中進行交叉、變異操作，完成后將這些個體送入下一代。在此過程中，需要選擇對算法收斂性具有直接影響的交叉概率Pc和變異概率Pm的值，在形成g+1個子代群體后重復上述操作，繼續計算群體的目標函數值。求滿足種群收斂的最優染色體的解的過程就是不斷重復選擇、交叉和變異的過程，即可得到滿足最優濾波條件的w、v矩陣。

3 仿真及實驗驗證

本文以標稱電壓為3.2 V、標稱容量為4 180 mA·h的18650磷酸鐵鋰電池作為模型測試對象，搭建測試平臺。電池測試平臺由上位機、可編程溫控箱和可編程充放電設備等組成。對電池在DST工況下做充放電實驗，該工況涵蓋了車輛加速、減速、勻速和制動等運動狀況，通過上位機采集電池端電壓、端電流和SOC等數據，記錄頻率為1 Hz。數據采集平臺如圖2所示。

圖2 數據采集平臺

圖3給出了DST工況下遺傳算法優化EKF噪聲矩陣的結果。設置種群數目為80，最大迭代次數為30，交叉概率Pc=0.8，變異概率為Pm=0.015，選擇操作比例為0.1。

圖3 迭代次數和最優解

圖4給出了各個算法的對比結果，其中圖4(a)分別給出了安時計量法、基于傳統EKF的SOC估計結果和基于遺傳算法優化EKF的SOC估計結果。從圖中可以看出，基于遺傳算法優化卡爾曼濾波的SOC估計策略能夠有效克服系統噪聲的干擾，具有很好的跟蹤性能。圖4(b)分別給出它們的誤差曲線。從圖4(b)可以看出：隨著仿真的深入，傳統EKF算法和安時計量法的誤差隨著計算時間的增加呈現出發散的趨勢。

圖4 算法對比

表1總結了DST測試工況下，各算法對SOC估算的誤差對比結果。由對比結果可知，基于遺傳算法優化擴展卡爾曼濾波的SOC估計算法最大誤差小于1.5%，無論是精度還是收斂度均優于其他幾種算法。

在實際使用中，動力鋰電池的SOC估計算法不僅需要有較高的準確性和實時性，還需要有較強的魯棒性。圖5給出了GA-EKF算法在DST實驗中針對魯棒性的測試結果，其初始參數分別設置為SOC(0)=0.98，P=diag([0.0001 5 0.01])，R=[50]，Q=(10-4)diag([0.001 3 0.072])。ΔSOC0為真實值與估計初始值之間的誤差百分比，本文分別在誤差為10%、15%和20%的3種情況下進行仿真測試，驗證算法的魯棒性。實驗結果表明：雖然初始時刻SOC的設定值偏離實際值較遠，但是算法能夠實現SOC的估計值快速向真實值逼近(700 s內)；在逼近真實值之后，SOC的估計值在真實值附近有較小的波動，不僅能滿足精度需求，還能滿足魯棒性要求。

表1 DST工況下各種算法對比

圖5 魯棒性測試

4 結束語

本文提出一種基于遺傳算法優化的擴展卡爾曼濾波SOC估計方法。一方面，為了克服電池模型準確性和簡易性的矛盾，設計出一種基于BIC準則的變階RC等效電路模型；另一方面，將表示系統噪聲和觀測噪聲的信息進行矩陣化，同時引入遺傳算法對噪聲矩陣進行最后優化處理，克服由噪聲引起的誤差。搭建測試平臺，在DST測試工況下，通過與其他估計算法的結果進行對比，證明GA-EKF算法具有較高的優越性，SOC的最大估計誤差在1.35%以內，說明具有較高的工程應用價值。