數學中考代數綜合題的命題規律及教學策略

陳建平

【摘要】結合新課標與考綱，通過對2017年幾個省的中考數學代數綜合題進行分析，尋找隱含在解題思路中相對穩定的命題規律，然后從“重視概念的精致，構建完善的認知結構”“重視數學思想方法領悟”“重視答題的心理狀態”三個角度和常規、融合、深化三個教學階段，制定相應的教學策略，提高學生解決此類數學問題的能力。

【關鍵詞】數學中考；代數綜合題；教學策略

代數綜合題是中考數學的必考題目，是實現試題區分度的主要題目之一，考察學生關于代數部分的綜合解題能力。在廣東中考的考綱中，明確規定第23題分值為9分，對于考生的總分能否上100分有決定性作用。因此，無論從提升學生的數學問題解決能力，還是從提高學生應試水平來看，研究它的教學策略都有著重要的意義和價值。筆者將對2017年的幾道中考數學代數綜合題進行分析。

一、真題呈現

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點，點P是拋物線上在第一象限內的一點，直線BP與y軸相交于點C。

（1）求拋物線y=-x2+ax+b的解析式；

（2）當點P是線段BC的中點時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值。

本題還用到2017年中考數學真題的“廣州卷第23題”、“嘉興卷第20題”、“深圳卷第21題”、“湖南省湘潭卷第25題”。

二、分析真題，尋找命題規律

（一）求函數解析式

上述真題考察了求解二次函數（拋物線）、一次函數（直線）、反比例函數（雙曲線）的解析式，而求解析式一般的做法是用待定系數法。待定系數法最關鍵一步是：得到在圖象上的點的坐標。

題型1，直接用待定系數法，把已知點代入。如廣東省的題目直接給出圖象上的兩點求兩個待定系數，湖南省的題目直接給出圖象上的一個點求出一個待定系數。題型2，轉換交點定義，給出兩個圖象的交點坐標。學生需要理解交點就是在每個相交的圖象上的點，如廣州、深圳、嘉興的題目。由于三元一次方程組是選修內容，因此題目一般不會給出圖象上三個點，用待定系數法求二次函數解析式。除非其中一個點是與y軸的交點，即獲得常數項c的值，從而代入數值即得二元一次方程組。題型3，給出的交點坐標含有未知數。要先用一個交點坐標求出其中一個解析式，再把另一個含有未知數的交點坐標代入，求出該交點坐標，如深圳、嘉興的題目。題型4，需要結合其他知識求出圖象上的點的坐標，如2016年廣東省的中考題第23題。給出一個已知點P，先要求出點P關于直線y=x對稱點Q（拋物線上點）的坐標。又如，2017廣州的中考題：二次函數y1的對稱軸與y2交于點A（-1，5），學生需要理解對稱軸就是x=-1，便可求出m的值，再把點A坐標代入，即可求出n的值，從而得到解析式。其第2問，若y2隨著的增大而增大，且y1與y2都經過x軸上的同一點。要求y2的解析式，只有一個點A的坐標是不夠的，還要尋找二次函數y2圖象上的另一點。“y1與y2都經過x軸上的同一點”，即告訴學生令y1=0，可以列出一個一元二次方程，求出與x軸交點，這就是y2經過的第2個點的橫坐標，由于與x軸交點，其縱坐標為0，于是就得到另一個點的坐標。

還有一些題目給出一次函數或反比例函數名稱但沒有給出解析式，需要先設解析式，再用待定系數求出其解析式。

（二）在函數圖象的背景下，構造三角形模型問題

題型1，構造直角三角形。如廣東題的第2小題，點P是線段BC的中點，知道點B的坐標，但不知道點C的坐標，無法利用中點公式求出點P的坐標。如果學生能用構造直角三角形的想法，便很容易獲得解題思路。如圖2，在Rt△ABC中，作PD垂直于直線AB于點D，則PD∥OC。此時，圖中出現了Rt△PBD和Rt△OBC。因為點P為線段BC中點，所以點D也為線段OB的點，所以點P的橫坐標為1.5。再把橫坐標代入二次函數解析式，便可求出點P的縱坐標。如果學生做第三問求sin∠OCB，想到在Rt△OBC中運用解直角三形的方法，會自然獲得解題思路，先求點C的坐標。而求點C的坐標，又需要用到前面Rt△PBD和Rt△OBC構成的圖形，得到OC=2PD。PD就是點P的縱坐標，前面已經求出，此題解題思路已明。深圳的題目（圖3）也可以構造兩個直角三角形，把證AD=BC的問題，轉化為求這兩個直角三角形全等的問題。圖2圖3

題型2，構造等腰三角形。嘉興題目的第二問，在軸上是否存在點，使其為等腰三角形？題目只給出線段AB（圖4），需要在x軸上找點P，連接PA、PB構造等腰三角形。可分三類情況構造等腰三角形，PA=AB、PB=AB、PA=PB。第1類以A為圓心，線段AB為半徑作圓，與x軸相交的點即為點P（圖中的P1、P2）；第2類以B為圓心，線段AB為半徑作圓，與x軸相交的點即為點P（圖中的P3、P4）。最后一類，作線段AB的垂直平分線，與x軸相交的點即為點P（圖中的P5）。本題的點P是有限制的，要求n>0，即點P要在x軸的正半軸。因此符合要求的點P，只有P2、P4。湖南省湘潭市題目的最后一問，要在拋物線上找點P。比較容易想到的一種情況是，過點A作PA//BC，交拋物線點于P，由“兩直線平行，內錯角相等”可知此時點P為所求。但另外一種情況，就需要構造等腰三角形，如圖5，作線段AB的垂直平分線，交拋物線于點P，交x軸于點D，則△ABD為等腰三角形，AD=BD。

圖4圖5

題型2，把多邊形切割為三角形或梯形求面積最值。把廣東的題目進行變式，加上問題“在（2）的條件下，在線段PB上方的拋物線上找點Q，使得四邊形PABQ的面積最大，求此時點Q的坐標和四邊形PABQ的面積。”方法1（圖6），由于四邊形PABQ可以切割為△ABP和△PBQ，而⊿ABP是不變的，要求四邊形的最大值，即求△PBQ的最大值。過點Q作x軸的垂線并線段BC于點H。此時把△PBQ拆成△PQH和△BQH，拆成的兩個三角形，它們的底都是QH，高的和是點P與點B的橫坐標之差（固定值）。線段QH取最大值的時候，△PBQ的面積最大。QH的長度可以用拋物線與直線BC的解析式之差來表示，這樣就轉變為二次函數的最大值問題。方法2（圖7），把四邊形PABQ拆為△PAG、△BQH和梯形PGHQ。其中△PAG面積不變，梯形PGHQ與△BQH的和可以用含有x的函數來表示，轉化為求函數的最值問題。圖6圖7

三、教學策略

（一）重視概念的精致，構建完善的認知結構

數學教育心理學理論指出：個體對概念的理解結果既非來自外部提供的信息，也不是原來的長時記憶，而是思維過程的產物，認知心理學家將之稱為“精致的概念”。在數學學習中，“精致”的實質是對數學概念的內涵與外延進行盡量詳細的“深加工”，對“概念要素”進行具體界定，以使學生建立更清晰的概念表象，獲得更多的概念例證，對概念的細節把握得更加準確，理解概念的各個方面，獲得概念的某些限制條件等。對概念的精致越充分，越能形成良好的記憶。一旦某個概念出現遺忘，精致還可以幫助個體進行重新推導。對概念的另一種精致方式是組織。組織是對新信息分類并標明它們之間關系的過程。在概念的系統中學習概念，使所學概念與其相關的知識之間的聯系明確化，使概念的網絡結構更加清晰。這一過程使概念成為一種有層次的“組織”，其作用是能使人對記憶進行結構化地搜索，這將使概念的提取更加迅速和準確。[1]

因此，在中考數學代數綜合題的教學中，先讓學生把一次函數、二次函數、反比例函數各自的概念、性質理解透徹，再把三者結合一起研究學習，重新組織三者，進行混合運用。當對概念精致到一定程度后，自然會構建一個相對完善的認知結構。

（二）重視數學思想方法領悟

數學思想方法是數學的靈魂。因此把數學思想方法作為學生學習數學的核心素養是必要的。從上述討論構造三角形模型的解題思路，滲透著數學建模思想與數形結合思想；從圖中找等腰三角形，滲透著幾何直觀的思想；從構建函數解決面積最大值問題，滲透著函數的思想；求解析式時，使用待定系數法等。因此，在講解中滲透各種數學思想方法，讓學生領悟并掌握顯得尤為重要。

（三）重視答題的心理狀態

從每年廣東的中考評卷情況來看，大部分學生的第1、第2問做得并不理想。除了不會做的原因外，更重要的原因是心理狀態。要解決學生的畏難情緒，教師需要在平時教學中教會學生如何保持心理的平穩、安定、適度緊張的心理狀態。要學生在平時的解題中理解第1問一般是常規題，只要平時做到概念的精致，并且靈活組織運用三類函數，就能快速解決。如果遇到稍難的第2問，一般用化歸、建模、數形結合等數學思想可以解決。教師盡量不主張題海戰術，但適量的題目練習還是必須的。

四、結語

中考數學代數綜合題是歷年中考的拉分題，是提高試題區分度的主要題目。學生需要一個系統的專題教學才能達到中考考查優生的應有水平。本文只是選擇2017年的五道中考數學代數綜合題，必然存在一定的片面性，還有很多考察的題型并沒有在本文敘述。其次，如果能從一道基本的典型的母題，逐步變式，把所有的題型都能涉及，學生可能更容易領悟并掌握。

參考文獻：

[1]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006.

[2]鄒香根.淺談中考數學試題的題型及解題策略[J].中學教學參考，2015（08）：47～48.

[3]張雁.中考數學復習專題四——代數與幾何綜合題復習[J].中學生數學，2013（06）.