淺談分數階微積分在高等數學教學中的應用

陳安

摘 ?要：文章通過介紹分數階微積分的發展歷史，闡述分數階微積分在融入高等數學教學上的積極意義，然后利用幾個具體的例子，進一步說明對分數階微積分的了解能促進學生對整數階導數的理解，激發學生的學習興趣。

關鍵詞：高等數學;分數階微積分;教學;積極意義

中圖分類號：G642 ? ? ? ? 文獻標志碼：A ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2019）17-0116-04

Abstract： By introducing the development history of fractional calculus， this paper expounds the positive significance of fractional calculus in the teaching of higher mathematics， and then uses several specific examples to further illustrate that the understanding of fractional calculus can promote students' integer derivative. The understanding of the student's interest in learning.

Keywords： advanced mathematics; fractional calculus; teaching; positive significance

分數階微積分是近年研究的熱點，它與本科教育中的高等數學課程有著緊密聯系。如何將這種聯系在教學中體現出來，讓學生從基本的高等數學學習中也能感悟到前沿研究的魅力，從而激發學生學習數學的興趣呢？本文嘗試回答這樣的一個問題，我們將從分數階微積分的歷史出發，然后介紹分數階微積分在高等數學教學中的意義，最后以分數階微積分中的一個具體例子為切入點，說明分數階微積分在高等數學教學中的應用。

一、分數階微積分的歷史

分數階微積分，也稱任意階微積分，它的研究歷史與經典整數階微積分一樣久遠。眾所周知，在微積分中，17世紀的德國哲學家和數學家Leibnitz發明了Leibnitz符號，他使用符號dx和dy分別表示變量x和y無窮小增量。考慮函數y=f（x），在Leibnitz符號下，y關于x的n階導數則可記為dx和dy的商，相應的n階導數可記。Leibnitz符號在高等數學中得到廣泛使用，但是在17世紀卻引起不少的疑慮。1695年，法國數學家L'Hspital就向Leibnitz發問：如果n怎么辦？Leibnitz回復說，這將導致矛盾，但將來終究會得到有用的結果。1819年，在Lacroix的一份文稿中首次出現了任意階導數。記y=xm，m是一個正整數，Lacroix首先得到n階導數，

隨后的兩百多年，對分數階微積分的研究主要集中在純數學理論方面，代表性的數學家有：Euler，Lagrange，Liouville，Riemann和Holmgren等。由于初期沒有得到物理背景的支持，故分數階微積分發展非常緩慢。最近幾十年，人們發現分數階微積分可以很好的對具有記憶和遺傳性質的材料和過程進行建模，例如，在材料黏彈性的研究領域中，分數階微分算子已經用來描述材料的本構方程。此外，分數階微積分在科學與工程的其它領域也有應用，如反常擴散、波傳播及湍流等不同領域問題，因此分數階微積分得到了快速的發展[1-3]。

盡管分數階微積分歷史久遠，且已有相當的發展，但在大學本科的教育中，據我們了解，了解它的人非常少。

二、分數階微積分在融入高等數學教學中的意義

（一）提高學生的學習興趣

高等數學是學生進入大學后接觸的第一門公共基礎課，在整個大學四年的學習中具有舉足輕重的地位。但是由于概念及定理較高中數學更為抽象和復雜，因此很多學生在接觸高等數學后容易產生枯燥和困難，失去學習數學的信心和興趣。所以培養學生的學習興趣有著十分重要的意義。這個時候，教師在教學過程中引入分數階微積分，通過一些簡單易懂的例子，或者一些數學家的故事，培養學生的學習興趣。比如當引入導數定義的時候，在適當時機介紹分數階微積分的歷史，并結合學生的專業特殊性，強調分數階微積分是高等數學中經典微積分的推廣，在科學與工程領域有著重要的作用。以冪函數的Caputo分數階導數為例，說明當它的階 0<α<1 時，可以做為零階導數與一階導數的過渡，并以直觀的圖象向學生進行介紹。如果將分數階導數應用于方程，則可刻畫反常擴散現象，也即非布朗運動的現象。提到布朗運動，也可以稍微進行拓展，引發學生對平常遇到的現象的思考，提高學生的學習興趣。

（二）拓展學生的數學思維

數學是一門邏輯嚴密的學科。而分數階微積分與整數階微積分一樣，也有一整套對應的嚴謹理論，只不過形式更為復雜。通過在高等數學教學過程中適當介紹分數階微積分，能夠培養學生的數學興趣，有助于數學思維的拓展。當然，在授課前應當充分挖掘分數階微積分與微積分相關聯的知識點，為學生的理解營造更順暢的氛圍，提升學生的學習信心。例如介紹到Gamma函數的時候，可以進一步介紹它是階乘的推廣。以此為切入口，介紹分數階導數的定義，并指出它是整數階導數的推廣。結合適當的微積分發展歷史，表明分數階導數是理論發展的必然結果，以此增強學生的數學邏輯，拓展學生的數學視野。

（三）提高學生的科學素養

分數階微積分是一門正在蓬勃發展著的學科，與其它學科有著千絲萬縷的關系。在本科教育中，高等數學作為理工科各專業的一門重要基礎課，它能夠為學生后繼課程的學習提供必不可少的數學基礎和數學方法。因此，在高等數學教學過程中適當引入分數階微積分，通過一些自然推廣的概念與應用背景的介紹，在各個教學環節有目的地培養學生的運算能力和自學能力，能夠讓學生逐漸形成知樹木又知樹林的全局觀，并使得學生的科學素養得到有效提高。例如高等數學中定積分的換元法是一個重點內容，教師在教授這一部分內容的時候就可以將冪函數的分數階導數的求法融入到教學中。這樣，不僅鞏固了對Gamma函數做為廣義積分的理解，同時也使得對換元法的應用更加靈活，從而使得學生的學習信心得到提高，進一步找到各個知識點的脈絡，為知識的靈活應用打下堅固的基礎。

三、分數階微積分在高等數學教學中的幾個應用例子

例1：定積分換元法及特殊函數的應用

以冪函數為例，我們通過冪函數的Caputo分數階導數的推導，說明高等數學中定積分的換元法及其特殊函數的應用。另外我們結合分數階導數與整數階導數的圖像，讓學生對導數概念有更深刻的理解。為了討論方便，我們先介紹一些有用的定義和符號[3]。

結合圖像向學生介紹，分數階導數的圖像處于相鄰的整數階導數之間，并且當α越趨于整數的時候，分數階導數越趨向于整數階導數。這可以使得學生對零階導數和一階導數有更自然的認識，從而拓展學生的數學思維，提高學生的學習興趣。

圖1 冪函數分數階與整數階導數的數值比較

例3：幾類初等函數導數的直觀化

基于例2，我們可以將其它幾類初等函數導數與分數階導數做比較。一般來說，其它的初等函數相應的分數階導數的表達式非常復雜，因此我們借助數值方法將它們的圖像畫出來（見圖2-5）。關鍵代碼如下：

%利用Grunwald-Letnikov公式計算alpha階分數階導數

function relt = fun（t， alpha）

m_max = length（t）;%剖分個數

relt = zeros（m_max， 1）;

f = @funct; %調用所要計算的函數

for k=2：m_max

tk = t（k）; n = m_max; tau = （tk-t（1））/n; tt = t（1）：tau：tk; y = f（tt）; %f為計算的函數

b = ones（1，n+1）; %計算權系數b

for m = 1：n

b（m+1） = （1-（alpha+1）/m）*b（m）;

end

relt（k） = sum（fliplr（y）.*b） * tau^（-alpha）; % G-L逼近

end

end

圖2 y=sin（t）分數階與整數階導數的數值比較

圖3 y=cos（t）-1分數階與整數階導數的數值比較

例4：二重積分的計算法

首先給出下面關于分數階積分的定義。

定義四：函數 f（t）的α階分數階積分的定義為

基于二重積分中的交換積分次序方法，我們可以給出分數階積分的如下性質：

其中β>0，實際上，由二重積分的計算法有

對上式作變量代換 η=（τ-s）/（t-s） 并結合例1可推導得到

從上面的推導過程可看出，在講解二重積分的計算法時，可引入分數階積分相關性質計算的例子。在給出例子時強調這是分數階微積分中最經典的計算，這樣有助于培養學生的自信心，提高學習數學的興趣。

例5：n 重積分的進一步理解

分數階積分其實可以看成是n重積分的推廣[1]。下面我們推導這一過程。記f（τ）的積分為

考慮f（τ）的二重積分

交換上式的積分次序容易得到

則f（τ）的三重積分有

容易看到，對于f（τ）的四重積分，我們可以得到

從而利用數學歸納法，我們可推導得到f（τ）的n重積分公式：

由于 Gamma函數是階乘概念的推廣，于是上式可寫成

這正是定義四中α取整數的特殊情形。

因此在講解函數的n重積分的時候，可以結合分數階微積分的定義適當做些推廣，從而可以增強學生的數學直覺，提高學生的科學素養。

四、結束語

如何將當前的研究熱點融入到高等數學的教學是一個需要教師不斷探索與嘗試的過程。本文通過引入分數階微積分，介紹它與經典微積分有著同樣久遠的歷史，然后對它在高等數學教學過程中的意義進行闡述。最后通過幾個具體的例子進一步說明分數階微積分在教學上的作用。本文僅是一個初步的嘗試，在具體的教學過程中還需要教師不斷提高專業水平，以及結合多種教學方法，有針對性地講授相關知識點，這樣才有助于學生接受新的知識，形成良性循環。

參考文獻：

[1]Podlubny I. Fractional Differential Equations[M]. Academic Press， San Diego， 1999.

[2]Miller K. S.， Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations[M]. Wiley， New York， 1993.

[3]孫志忠，高廣花.分數階微分方程的有限差分方法[M].科學出版社，2015.