高中數(shù)學(xué)三視圖還原幾何體

申奮生

解決三視圖還原幾何體問題，要求學(xué)生有極強(qiáng)空間想象能力，對(duì)于一些比較復(fù)雜的三視圖問題，即便是數(shù)學(xué)思維較強(qiáng)的學(xué)生，也會(huì)有一些壓力。在高考緊張的環(huán)境下，如果遇見一個(gè)不常規(guī)的三視圖，就會(huì)給偏愛數(shù)學(xué)的考生設(shè)下了一道門檻，要是心慌，不僅會(huì)與本題失之交臂，甚至直接影響后面的答題情況。所以教師要特別注意這方面的教學(xué)，教授學(xué)生答題技巧，鍛煉學(xué)生的空間想象能力和還原能力。下面以三視圖還原幾何體相關(guān)例題，例談如何解決此類數(shù)學(xué)問題。

將三視圖還原成幾何體，首先要構(gòu)想出原圖并畫出來，在這方面的教學(xué)可以主要從兩種題型入手，一是“矩形”模型，二是“三角形”模型。

一、“矩形”模型

“矩形”模型是指給出的三視圖中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的圖形是矩形，這種題型可以采用“刀切法”，就是在腦海里面先構(gòu)想出一個(gè)長(zhǎng)方體，然后再根據(jù)三視圖一刀刀切出原幾何體。

例如，下圖中，小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，且該幾何體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）。

A.32[π] B.48[π] C.50[π] D.64[π]

解析：如圖，由三視圖知識(shí)可知，正視圖和側(cè)視圖為兩個(gè)正方形，可以用“刀切法”構(gòu)想出幾何原圖。首先畫一個(gè)正方體，由俯視圖可知，要在正方體的面對(duì)角線切一刀，留下半個(gè)長(zhǎng)方體，再由正視圖和側(cè)視圖可知，對(duì)于剩下的半個(gè)長(zhǎng)方體，要繼續(xù)切去兩個(gè)角，最后剩下的幾何體即為四棱錐P-ABCD，其中平面PCD⊥平面PAB，外接球球心恰好就是正方體的中心，這道題就能迎刃而解。

設(shè)外接球的球心為O，△PCD與△PAB的外心分別為H和G，則HP、GP分別為△PCD與△PAB的外接圓的半徑，OH⊥OG，在△PCD中，PC=PD=2[5]，CD=4，應(yīng)用正、余弦定理可得，cos∠PCD=[55]，所以，sin∠PCD[55]，PH=[12]×[PCsin∠PCD]=[52]，所以，外接球O的表面積為S=4πR2=4π×OP2=4π×（OH2+PH2）=50π。

練習(xí)：一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖所示，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（ ）。

A. [18] B. [17] C.[16] D.[15]

解析：如圖，由題意知，該幾何體是正方體ABCD-A1B1C1D1被過三點(diǎn)A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分為三棱錐A-A1B1D1，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為 =

[VA-A1B1D1VA1B1C1D1-ABCD-VA-A1B1D1] = =[15]，選D。

二、“三角形”模型

“三角形”模型是指給出的三視圖中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，可以采用“拔高法”，即以俯視圖為基本出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)主視圖和側(cè)視圖的形狀把俯視圖拉伸成相應(yīng)的高度，得到還原后的立體幾何圖。

例如：四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為（ ）。

A.[81π5] B.[81π20] C. [101π5] D.[101π20]

解析：在三視圖中有兩個(gè)三角形，可以采用“拔高法”還原幾何體。以俯視圖為基本出發(fā)點(diǎn)，該四棱錐底面為矩形。由正視圖和側(cè)視圖可知，頂點(diǎn)是將俯視圖上邊中點(diǎn)向上拉至一定高度后得到，高度值可由正視圖計(jì)算得到。

還原后的幾何體即四棱錐P-ABCD，其中平面PCD⊥平面ABCD，且AB=4，BC=2，PC=PD=3，取CD的中點(diǎn)G，GC=2。

設(shè)四棱錐的外接球的球心為O，半徑為R，底面ABCD的外接圓圓心為H，平面PCD的外接圓圓心為K，OH，則平面ABCD，OH⊥平面PCD。

由幾何、三角知識(shí)可得，HC=[5]，KC=r=[12]×[352]=[9510]，OH=KG=[KC2-GC2]=[510]，所以R=OC=[OH2-HC2]=[50510]。

故該四棱錐的外接球的表面積S=4[π]R2=[101π5]。

練習(xí)：某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（ ）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

解析：由三視圖可得，有兩個(gè)三角形，采用“拔高法”，以底面直角為基本出發(fā)點(diǎn)，從主視圖和側(cè)視圖中可以看出頂點(diǎn)就是將D點(diǎn)拔高2個(gè)單位，如圖所示，此四棱錐恰好可以放到一個(gè)正方體中。

在四棱錐P-ABCD中，PD=2，AD=2，CD=2，AB=1，由勾股定理可知：PA=[22]，PC=[22]，PB=[22]，BC=[5]，在四棱錐中，直角三角形有△PAD、△PCD、△PAB共三個(gè)，故選C。

三視圖還原幾何體問題中，難度比較大的就是這兩種題型，對(duì)于圓形的還原，一般都是圓柱或球，難度相對(duì)較小。對(duì)于“矩形”和“三角形”模型，在教學(xué)的過程中，為了使學(xué)生更加清楚地理解與想象，教師也可以制作一些簡(jiǎn)單的動(dòng)畫，后期再專項(xiàng)訓(xùn)練學(xué)生的想象能力。在這類題型中，教師還要對(duì)圖形中棱角關(guān)系的教學(xué)做一個(gè)系統(tǒng)的規(guī)劃。而學(xué)生不僅要具備空間想象的能力，還要具備模型思想和運(yùn)算能力。

（責(zé)任編輯 林 娟）