感知、突破、真知

翁昌來

數學思維是數學教學重要組成部分，數學思維也如同人們認知事物一樣，經歷感知、突破、真知的思維進階過程。運用思維進階理論可以為教材建設提供有益的建議，現以教材、選修讀本以及網絡討論的數學應用三例進行闡述。

一、數學背景引入讓學生在感知中抽象

數學是抽象的，是對客觀世界數與量，空間與形式的抽象，其抽象給學生帶來學習困難，難以產生數學思維.而數學思維的學習和培養可以還原思維的發生，通過數學背景的引入，讓學生對數學對象的感知，激發思維熱情，并在具體的感知中去抽象數學對象的關系，實現思維的發展。

地震是不可抗據的自然現象，研究震級與震時散發能量對地震預防和災后救助都有積極意義.然而，對震級的破壞力學生只停留在不同震級的破壞力的表象比較中，對震級與破壞力之間關聯的比較顯得模糊.因此，計算微弱震級差的相對能量比值具有思維的挑戰性.

問題的探求中，厘清量與量的函數關系，利用對數運算性質簡化方程，根據對數式與指數式的轉化獲得結論，讓學生在求解具體問題中感知數學對象，即對數學信息的覺察、感覺、注意、知覺，完成了從未知至已知，復雜至簡單以及關系轉化的思維發展.數學背景中的為什么，是什么，如何求成了抽象思維發展的推動力。

讓學生感知數學對象，參與知識發生過程，也成了教材修訂的共識，以1985年人教社版的乙種本和2008年上海高中數學教材指、對數函數章節為例，可以看到它們都是在概念建立、圖象和性質研究以及指、對函數的關系框架上展開的，但上海二期課改后的教材大幅度地增添了數學應用的背景，如人口預測，銀行本利和，國民生產總值，里氏震級，學習曲線，馬王堆古墓等等問題.這些以數學應用為特征的背景的引入，讓數學應用成為抽象思維的載體，在問題解決中實現思維的發展。

當前，STEM課程已引起了國際教育界的關注，其核心是用數學解決科學、技術、工程中的問題，而我國教材早在上世紀80年代開始，在重視思維發生過程和人人學習有用的數學思想指導下，加強數學應用成了教材建設的關注點，相信，又一輪教材的修改定會充分吸收上海二期教材實施經驗以及借鑒STEM課程編制的精髓，讓學生在數學背景中感知數學積極開展數學思維。

二、微積分學習讓學生突破原有的數學思維模式

當前微積分是否需要進入上海高中課程已成了不爭事實，從思維發展角度認識高中生微積學習有十分重要意義。

思維從均勻變化轉變為非均勻變化是思維方式的突破，認知的飛躍.微積分學習不單是多了一種解決問題的方法，更重要的健全了思維，讓學生高中畢業后即使不進入高一級學校學習，也能應對非均勻無限變化過程的問題.顯然，思維方式健全的學習，比強調單一的均勻變化解題訓練更有意義。

回顧教材修改，1993年微積分曾進入了上海高中三年級（二）的教材，由于受沒有嚴格的極限理論學習不能學習微積分觀點的影響，以后的第一與第二期的教材都沒有把微積分編寫在冊。從學生思維發展的現實來看，高中生學習微積分可以對嚴密的極限理論的獲得感知，為以后高等數學學習奠定基礎.學生的數學思維發展是由不嚴密走向嚴密，如果片面地強調思維的嚴密性，那么小學生沒有數論知識學習，就不能進行數的運算，至今仍只能原地踏步。中學階段學生所學的微積分雖然對極限理論的表述停留在模糊之中，但不影響對不規則、彎曲的幾何對象和非均勻無限變化的理解和計算。雖然，初等數學中有許多問題解答能對思維訓練發揮重要作用，然而，在微積分中也有許多好問題，能提供更廣寬的聯系真實世界的思維訓練。

目前初等數學教學為應對高考選撥，已由打好基礎演變為“題海”“深挖洞”的刷題。解題技巧訓練的教學“性價比”太低，浪費了學生精力和青春.面對現實需求和時代的發展要讓學生數學思維突破，更需要在教材建設的理念上進行突破，高中數學課程需要高等數學與初等數學合理兼學推進。

三、數學建模活動讓學生思維獲真知

數學思維目的不單是正確認識數學定義、法則和公式，更重要的是能運用數學規律去服務于研究對象，實現真知。

數學建模是學生運用頭腦中的數學模型去分析研究真實世界，在模型的選擇、修正中獲取貼近客觀世界的正確認知。

經歷了數學模型的選用和修正，把原腿部運動從直桿（腿）轉動修正為足部直線運動，又從直線運動的質量僅為腿部質量修正為全身質量，使得如何省力越來越符合現實。可以在總體恒速的前堤下，對兩腳運動作前半步是加速，后半部是減速變化的假設等等。總之，根據不同的需求、從不同的視角采用不同的模型獲取答案，雖沒有唯一的答案，卻有最佳答案.數學建模活動正是在尋找與真實世界最為逼近的模型過程中，去檢驗思維正確與否，并在思維矯正中獲取真知。

目前教材雖然每冊中均有探究與實踐活動，為數學建模奠定了基礎，但與數學建模仍有很大距離。高中生面對信息時代，已有豐富的感受，他們已能用數學眼光去觀察世界，不少學校學生撰寫的小論文也證實了這一點。

為此，教材中須設立數學建模章節，從數學思維的角度講述數學建模的方法和步驟，提供數學建模案例.此外，還可以把建模活動中的思維過程融入到教材各章節中.如教材各章節開頭的情景引入時，在感知數學模型的實際背景中，改變提練和抽象數學模型過程過于直接和簡單，可增加閱讀的信息量，讓學生去冗余的信息，學會在紛繁的實際背景中去提練、抽象數學元素和關系，即加強數學模型提練和抽象發生的過程.同時，在各章節的練習部分視可能，適度增加對演算推理和結論的“回坯”活動，讓學生去聯想數學模型背后的實際意義，去創造數學應用問題.使整個章節學習，潛移默化地接受數學建模思想和方法.讓學生在數學建模中進行有效學習，成為有為學生。

綜上所述，感知、實破、真知是思維進階的幾個階段，關注思維進階，在微觀上則體現在數學知識、概念的理解和數學問題的解答中，在宏觀上則體現在課程體系的構建中，愿應用三例的思考對數學教材建設有所啟示。