賞圖、析境、意會，解決一類一次函數中的行程問題

江蘇省太倉市第一中學 霍 燕

函數概念引入后，行程問題往往與一次函數圖像結合，能有效考查學生對數學知識運用及解決實際問題能力，因此歷來都是考試中的常見題型。如何更好地讓學生理解并掌握這一類應用題，筆者在教學中做了一些嘗試，結合2018 年的中考試題，將常見問題分為“一人一線”問題、“兩人兩線”問題、“兩人一線”問題，與大家分享我的教學思路。

一、“一人一線”問題

例1（2018 年江蘇南京中考題）小明從家出發，沿一條直道跑步，經過一段時間原路返回，剛好在第16 min 回到家中。設小明出發第tmin 時的速度為vm/min，離家的距離為Sm。v與t之間的函數關系如圖1 所示（圖中的空心圈表示不包含這一點）。

（1）小明出發第2 min 時離家的距離為__________m；

（2）當2 ＜t≤5 時，求S與t之間的函數表達式；

（3）畫出S與t之間的函數圖像。

方法點撥：欣賞圖形，并在圖中找出有利于問題解決的特殊點，理解特殊點與圖形情境的意義，思考解決方法。畫出線段示意圖，將一次函數圖像轉化為行程問題。

解題過程：

（1）當t=2 時，v=100，故S=vt=100×2=200。

（2）審題，讀透圖形中蘊含的路程、時間、速度信息，求出去時的時間，再確定返回的時間。引導學生先求出每一段的路程，并在題目圖中標示。求出來回總時間是16 min，往返總路程是200+480+880=1560 m，因此可求出去時的時間為（1560÷2-200-480）+5=6.25 min，從而在2 ＜t≤5 時，S=200+160(t-2),即：S=160t-120。

第二問是第三問的鋪墊，對特殊點進行分析，可得答案。（答案略）

點評：本題是倒數第二題，在設計上比較新穎，它跳脫出了S-t圖像的常規思維，改成了v-t圖像，既要求學生具備扎實的基礎知識，又考查學生的綜合理解和學習能力，是一道好題，也是一道難題。

二、“兩人兩線”問題

例2（2018 牡丹江中考題略改動）在一條筆直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙兩人同時出發，甲從A地騎自行車去B地，途經C地休息1 分鐘，繼續按原速騎行至B地，甲到達B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行從B地前往A地。甲、乙兩人距A地的路程y（米）與時間x（分）之間的函數關系如圖2 所示，請結合圖像解答下列問題：

（1）請寫出甲的騎行速度為____米/分，點M的坐標為________；

（2）請寫出兩人出發后，在甲返回A地之前，經過多長時間兩人距C地的路程相等。

方法點撥：根據題意，分離圖像。易知，折線O-M-N是甲的圖像，線段DE是乙的圖像。畫線段示意圖，理清甲、乙中特殊點的意義，進而解決問題。

解題過程：

（2）設甲返回A地前，經過x分兩人距C地路程相等。由乙的速度：1200÷20=60 米/分，進而求出AB=1200，AC=1020，BC=180。分類如下：

當時，即甲乙在A、C之間，∴1020-240x=60x-180，解得x=4。

當x=6 時，甲到B地，距離C地180 米，乙距C地：6×60-180=180 米，即：x=6，兩人距C地的路程相等。

當x＞6 時，甲在返回途中，若甲在B、C之間時，180-[240(x-1)-1200]=60x-180，解得x=6，不符題意，舍去。若甲在A、C之間，240(x-1)-1200-180=60x-180，解得x=8。

綜上所述，在甲返回A地之前，經過4 分鐘或6 分鐘或8 分鐘時，兩人距C地的路程相等。

點評：本題是倒數第二題，題目難度呈現螺旋式上升，考查的知識點是一次函數圖像的識別及其性質的綜合運用以及行程問題中的追及問題與相遇問題，特別是第2 問還涉及分類討論思想，題目難度較高，對學生的能力要求也比較高。

三、“兩人一線”問題

例3（2018 江蘇鹽城中考題）學校與圖書館在同一條筆直道路上，甲從學校去圖書館，乙從圖書館回學校，甲、乙兩人都勻速步行且同時出發，乙先到達目的地。兩人之間的距離y（米）與時間t（分鐘）之間的函數關系如圖3 所示。

（1）根據圖像信息，當t=_______時甲、乙兩人相遇，甲的速度為_______米/分鐘；

（2）求出線段AB所表示的函數表達式.

方法點撥：（1）根據題意，分析圖像。（2）畫線段示意圖。（3）利用方程、一次函數解析式等手段解決問題。

解題過程：

點評：此題需要學生在理解特殊點的基礎上解題，對學生的理解能力、讀圖能力都有較高的要求。在教學中，教師還是需要強調學生對知識的理解與掌握，進而提升學生的解題能力。此題牽涉的知識點很豐富，需要學生具備一定的理解能力，筆者認為，還是要以速度為突破口解決問題。

教師通過引導學生賞圖、析境，層層遞進的傳授知識只是其一，更重要的是學生領悟力的提高，“悟”是一種修行，教師有效的引領，有利于學生實現高效的意會。