溝渠·線段圖·數(shù)感
——以圖為媒，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

石 榮

冬日的田野一片寂寥，偶有紫色的草籽點綴其中，一條用以灌溉的溝渠穿越而來，直至中部的河堰。兒時和小伙伴們在這里嬉戲打鬧，經(jīng)過溝渠之時，他們都能一躍而過，個小的我卻只能尋個稍窄的地方慢慢探身跨過去。那時的我不明白，小伙伴們怎能毫不猶豫地就跳過去了，而我會知道自己跳不過去，好像有一股神秘的力量在操縱著這件事。現(xiàn)在想來，這股神秘的力量應(yīng)該就是潛伏在人身上的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)——數(shù)感。數(shù)感平時是看不見摸不著的，而在主人需要的時候它就會及時出現(xiàn)。如果溝渠的寬度用線段一來表示，雙腿跨過的距離用線段二來表示，那么只要線段一的長度不超過線段二的長度，就能安全跨過溝渠。二者的長短不需要拿尺子測量，孩子們自身就有這個能力估計兩者之間的長短關(guān)系。這使我想起三年級上學(xué)期（人教版三上）在教學(xué)歸總問題時課堂上畫線段圖的情景。

例題：媽媽的錢買6 元一個的碗，正好可以買6個。用這些錢買9 元一個的碗，可以買幾個？

讀題后，為了讓學(xué)生更透徹地理解題意，我讓他們在作業(yè)本上畫線段圖。在巡視的過程中，我發(fā)現(xiàn)對于“6 元一個的碗正好可以買6 個”這個條件，學(xué)生都能正確地用線段圖表示出來，而怎么表示“9 元一個的碗”卻是有些圖不達意。因而在示范畫圖時，畫好6 個6 元一個的碗后，我問學(xué)生：9 元大概要畫多長呢？大多數(shù)學(xué)生是很茫然的，其中一名學(xué)生卻是高高地舉起了手，他說：先畫和6 元的線段一樣長的線段，9 元比6 元多3 元，3 元是6 元的一半，所以還要再多畫6 元的一半。他的表述清楚，我欣喜地發(fā)現(xiàn)這個學(xué)生的數(shù)感是強烈的，而且他能借助所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識來表述他所理解的數(shù)學(xué)信息。同時，我意識到線段圖形象直觀，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的一個很好的媒介。于是，在教學(xué)中我以線段圖為切入口，有意識地讓學(xué)生更多地畫線段圖，以達到提高學(xué)生數(shù)感的目的（以人教版三上數(shù)學(xué)教材為例）。

一、利用線段圖理解概念，在概念教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)感

數(shù)學(xué)概念不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，而且是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的過程，實際上就是掌握概念并運用概念進行判斷、推理的過程。數(shù)學(xué)中的法則都是建立在一系列概念的基礎(chǔ)上的。事實證明，如果學(xué)生有了正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，就有助于掌握基礎(chǔ)知識，提高解題技能。因而數(shù)感的培養(yǎng)應(yīng)滲透于概念教學(xué)。“倍”是三上教材中一個很重要的概念，與乘法、除法、分數(shù)、比等概念在本質(zhì)上有著內(nèi)在的聯(lián)系，在教材的編排體系中起著承前啟后的作用。在教學(xué)《倍的認識》這一課時，設(shè)計了以下環(huán)節(jié)：

圖1

圖2

圖3

圖4

圖1 是實物圖，在初步接觸倍的概念后，教師貼一個藍臉，學(xué)生貼出它的三倍；教師貼兩個藍臉，學(xué)生還是貼出它們的三倍。學(xué)生在這個練習(xí)中進一步理解倍的意義，同時初步體會“比較量數(shù)量增加，比較量中的每一份都增加相同的數(shù)量，那么比較量和標(biāo)準(zhǔn)量之間的倍數(shù)關(guān)系是不變的”。在此基礎(chǔ)上，實物圖變化為圖2 的橢圓形圖，接著抽象成圖3，進而變化成更為抽象的圖4——線段圖。在這個過程中學(xué)生體會“圖形變而倍數(shù)關(guān)系不變”，思維經(jīng)歷由形象到抽象的變化。利用線段圖進行比較量和標(biāo)準(zhǔn)量的計算，在用數(shù)字計算的基礎(chǔ)上用字母來表示：如果標(biāo)準(zhǔn)量用x 來表示，那么比較量就用3x 表示，滲透符號思想。在多次的數(shù)量計算中感受數(shù)的變化，比較數(shù)的大小，感悟數(shù)量之間的倍比關(guān)系，以達到培養(yǎng)數(shù)感的目的。

二、利用線段圖比較大小，在比較中增強數(shù)感

在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系，不僅是理解數(shù)的需要，同時也會加深學(xué)生對數(shù)的實際意義的理解，使數(shù)感得到發(fā)展。分數(shù)是人教版三年級上冊教材的又一重要數(shù)學(xué)概念，與學(xué)生已有的整數(shù)概念是完全不同的。不足一個的物體的數(shù)量怎么表示在學(xué)生的經(jīng)驗中是缺失的，特別是對這些數(shù)的大小的概念更是模糊不清，學(xué)生很容易根據(jù)以往的經(jīng)驗判定小于。教師在教學(xué)分數(shù)的大小比較時，往往會借助各種圖形來輔助。而筆者最喜歡用線段圖，因為線段圖能清楚地表示數(shù)量的大小、表達數(shù)量之間的關(guān)系，是解決數(shù)學(xué)問題最重要的輔助手段之一，并且線段圖簡單易畫，可以節(jié)省時間，提高效率。

圖5

兩條同樣長的線段（單位“1”），一條平均分成2份，一條平均分成3 份，其中的1 份哪個長？當(dāng)然是平均分的份數(shù)越少，1 份就越長，如圖5。用線段圖表示，它們的大小關(guān)系會一目了然。

圖6

這道題對于剛剛接觸分數(shù)的三年級的學(xué)生來說，理解起來是有一定難度的。那么線段圖在這里絕對有四兩撥千斤的作用。筆者先引導(dǎo)學(xué)生畫出一條線段表示小紅錢數(shù)的，接著畫出同樣長的線段表示小明錢數(shù)的（因為同一本書的價錢是同樣多的）。再通過理解和的意義補充畫出小紅的總錢數(shù)和小明的總錢數(shù)，如圖6，誰的錢多一看一比就出來了。

在教學(xué)中要求學(xué)生多畫線段圖，養(yǎng)成畫圖的良好的解題習(xí)慣，借助線段圖通過觀察比較增強學(xué)生對數(shù)、數(shù)量的敏感度，培養(yǎng)對數(shù)的感覺，豐富對數(shù)的感悟，以達到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的目的。

三、利用線段圖厘清數(shù)量關(guān)系，在清晰數(shù)量關(guān)系中提升數(shù)感

線段圖能使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一。用線段圖把問題中的各個數(shù)量及其相互關(guān)系表示出來，數(shù)形結(jié)合使問題的內(nèi)容具體化、形象化，能幫助學(xué)生理解題意，搞清數(shù)量之間的關(guān)系，尋找出解題的方法。

如，小猴和媽媽上山摘桃，小猴摘了4 個，媽媽拿一個桃子給小猴后，剛好是小猴的3 倍，猴媽媽一共摘了多少個桃？

剛剛學(xué)習(xí)了倍的知識的學(xué)生，對于題中的數(shù)量關(guān)系一時是弄不清楚的。于是我指導(dǎo)學(xué)生畫了下面的線段圖：

圖7

在反復(fù)讀題理解題意的基礎(chǔ)上一步一步引導(dǎo)學(xué)生畫圖，搞清楚每一個信息用圖怎么表示，特別是“3倍”的含義：誰是誰的3 倍，標(biāo)準(zhǔn)量是什么。通過圖讓學(xué)生理解了猴媽媽拿了一個桃給小猴，桃的數(shù)量減少了一個，而小猴增加了一個桃，桃的數(shù)量變成了5個，“3 倍”指的是“猴媽媽拿走了一個桃后桃子的數(shù)量是小猴增加了一個桃后桃子的數(shù)量的3 倍，也就是5 個桃的3 倍，標(biāo)準(zhǔn)量是5 個桃。厘清了這個數(shù)量關(guān)系，此題就迎刃而解了。

小學(xué)生的思維特點是以具體形象為主，通過長期的訓(xùn)練讓學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，有利于學(xué)生的思維從形象思維向抽象思維過渡。要讓學(xué)生在常態(tài)的長期的畫圖訓(xùn)練中經(jīng)歷運用符號和圖示描述現(xiàn)實問題的過程，以此建立符號感，發(fā)展抽象思維，以達到提升數(shù)感的目的。

總之，以線段圖為媒，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，是解決問題的重要策略，也是培養(yǎng)和提升學(xué)生數(shù)感的強有力的手段。