可視，可操作，可推理 讓學生體驗研究性學習
——《梯形的面積公式推導》教學實踐探索

俞旭華 韓偉珍

梯形的面積公式推導是平面規則圖形面積計算系列中，最后一種直邊圖形的面積公式推導。比較人教版、浙教版、青教版、西師大版、北師大版、蘇教版等六個版本教材發現，所有教材都較為重視用多種方法推導梯形的面積計算公式，每個教材都基本提供三種教學思路。

綜合各個版本的教材，我們進行梳理發現，梯形面積公式的推導方法大致有以下九種。

六個版本的教材中，有四個版本未提供數據，只有圖片顯示切割轉化方法，沒有梯形面積公式的推導過程；其余兩個版本提供了梯形的數據，并有梯形面積公式的推導過程。

根據梯形面積公式推導的呈現方式，我們把學生的探究水平分成三個層次：

images/BZ_29_237_2449_363_2539.png平類別 達到的要求直觀的探究水平 通過割、補、割補把梯形轉化成已知圖形，轉化過程只要能畫出直觀圖形即可。具體的探究水平 不僅會轉化圖形，而且通過測量或尋找合適的數據，還能計算出梯形的面積。形式化的探究水平 不僅能夠畫出轉化的圖形，還能計算出面積，最后推導出梯形的面積計算公式。

然而在教學實踐中，筆者發現，一般梯形面積公式的推導都要教師予以暗示和啟發：先引導學生復習推導三角形面積的轉化方式，或者把平行四邊形分割成兩個完全一樣的梯形，用這樣的方式引導學生發現兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形，由此推導梯形的面積公式。為什么要做這些鋪墊和復習呢？因為很多情況下，能“獨立自主”探究梯形面積公式的學生人數極少，所謂的探究，更多的是學生在教師的“指令”下機械性地“操作”。于是，我們進行思考：提供怎樣的學習材料更有利于學生發現梯形的面積公式？如果提供了合適的材料，那在九種推導方法里，學生會發現哪幾種？哪種方法出現的頻率比較高？自主探究后，怎樣進行反饋交流？

我們發現，以上六種版本中沒有利用網格幫助學生推導梯形面積公式的方法。事實上，運用網格可以讓圖形的數據更明顯，研究更可視化，因為推導平行四邊形面積時，網格雖然僅用于數格子法，但不可否認，有了網格線做平行四邊形的背景，學生對沿高剪下一個三角形補到平行四邊形的另一端形成長方形，有更精準的認識。所以我們進行假設，在推導梯形的面積公式時，如果提供網格背景材料，可能會讓學生的探究和發現更加主動、深刻，且推導梯形面積公式的方法更豐富，為此我們做了前測調查分析和報告。

研究主題：學生推導面積計算公式時需要用網格嗎？——網格對學生推導梯形面積公式作用的調查計劃與分析

一、調查目的

學生學習梯形面積公式前的認知起點調查與分析，主要調查學生在獨立思考推導梯形的面積公式時有哪些不同的方法。

二、調查假設

提供網格背景對學生推導梯形面積公式的方法多樣化和深刻性方面具有較大的影響。

三、變量控制

同年級平行班調查，（盡量控制平行班之間認知差異較小、教學進度一樣）學生獨立做題，控制時間為10 分鐘，測查教師不干預學生思考。

四、變量差異

調查三個班的變量差異。

班1：只提供梯形圖。

班2：提供網格背景的梯形圖，且梯形的上底、下底、高的端點正好在格點上。

班3：提供網格背景的梯形圖，且梯形的上底、下底、高和中位線的端點都在格點上。

五、調查樣本選擇

在筆者所在學校選擇了五年級三個班的學生。（未對這三個班的學生教學過梯形的面積計算公式，但他們已經學習了三角形等面積計算公式的推導）

六、調查結果初步分析

研究要求：請你算出這個梯形的面積。

研究結果統計表

0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 3 0 3 3 0其他 0 1 1 0 1 1 1 1 1合計 11 11 1 18 19 10 23 21 15images/BZ_30_1299_385_1431_454.pngimages/BZ_30_1295_308_1440_373.png

1.只提供梯形圖。（班1：34 人）

學生自己尋找數據或轉化成其他圖形后，算出梯形面積的學生占測試總數的32%，有68%的學生完全錯誤，其中有近10%的學生完全空白。在計算出梯形面積的學生中，把梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形的有3 人，分割成兩個三角形的有2 人，分割成兩個三角形和一個長方形的有2 人，補成平行四邊形的有3 人。

2.提供網格背景的梯形圖。（班2：36 人）

能正確算出梯形面積的學生占測試總數的53%，有28%的學生對梯形的面積公式進行了猜測，且推理正確。在計算出梯形面積的學生中，九種圖形轉化方法出現了七種，其中倍拼法、分割成兩個三角形、分割成一個平行四邊形和一個三角形的方法，學生能在格點背景圖的幫助下算出面積后，更順暢地推測出面積計算公式。

3.提供網格背景的梯形圖。（班3：32 人）

能正確算出梯形面積的學生占測試總數的66%，有47%的學生對梯形的面積公式進行了猜測，而且推理正確。在出現的所有方法中，圖形轉化頻率最高的方法是分割成兩個三角形和一個長方形。在算出梯形面積的學生中，九種圖形轉化方法出現了八種，公式推導最順暢的方法是倍拼法、分割成兩個三角形和沿中位線對折剪開把兩個梯形拼成平行四邊形這三種。

綜上所述，根據前測調查，學生對于梯形面積計算公式的推導，利用網格做背景，且上底、下底、高和中位線的端點都在格點上，更具可視性，學生更易操作、更能理解、推理、推導出梯形的面積公式，并能進行多樣化理解，使思維更加具有靈活性和深刻性。

【教學過程】

一、拋出問題，引導轉化

師：這個梯形的面積指哪部分？

師：你有辦法算出這個梯形有多大嗎？（學生口答分成兩個三角形或分成平行四邊形和三角形等）

師：是的，變成三角形、變成平行四邊形就好算了，因為這幾種圖形我們已經會算了，這種方法極好，我們稱之為“轉化”。（板書“轉化”）

師：剛才已經有同學說到把梯形分成兩個三角形，這樣的轉化方法可以簡稱“分”；（板書“分”）像推導三角形面積的時候，我們把兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，這樣的轉化方法叫“合”，（板書“合”）在推導平行四邊形面積的時候，用到“移”和“補”。（板書“移”“補”）

師：這節課，我們就要運用以前學過的知識，通過“分”“合”“移”“補”，把梯形轉化成我們學過的圖形，算出它的面積，并探索梯形的面積計算公式。

【設計意圖：化歸思想是教學平面圖形面積系列的方法基礎，從教材編者的角度看，化歸思想在平行四邊形面積推導時是“有指導的探究”，在三角形面積推導階段是“有指導的應用”，在梯形面積推導階段應該是“自主應用”化歸思想，所以設計中，以解決問題導入，讓學生在方法的探索中，從無意識走向有意識，對化歸思想方法有更明確的認識，才有自主應用。】

二、分合移補，自主建構

1.學生使用《探究作業單》完成探究任務。（提供帶網格的梯形圖，且相應邊的端點在格點上）

任務一：算出梯形的面積。

任務二：對比新圖形與梯形的面積關系以及新圖形的邊與梯形邊的對應和關系。

任務三：根據計算梯形面積的算式，猜測梯形面積的公式。

（學生探究，教師進行指導，特別關注學困生，及時給予指導。教師在巡視中，也要關注學生自主探究時出現頻率更高的方法）

2.反饋交流。

（1）四人小組交流。

師：說一說，你是怎么算出梯形的面積的？說一說，梯形與新圖形的面積以及邊的對應關系。說一說，梯形的面積公式可能會是怎樣的？為什么？

師：相互交流后，把你們認為最好的轉化方法，畫在大圖上，準備全班交流。

（2）全班交流。

師：每個小組把你們認為最合適的方法轉化圖貼在大屏幕上，請小組派兩人合作匯報和板書。如果有方法類似的小組，請聽后進行補充。

課堂中形成有側重的幾種梯形面積公式的推導：

●推導一：梯形的面積=平行四邊形的面積

（2+8）×（4÷2）=20cm2

面積=（上底+下底）×（高÷2）

●推導二：梯形的面積=平行四邊形的面積

（2+8）÷2×4=20cm2

取長補短，平行四邊形的底是梯形

上底下底和的一半

面積=（上底+下底）÷2×高

●推導三：梯形的面積=平行四邊形面積的一半

（2+8）×4÷2=20cm2

面積=（上底+下底）×高÷2

●推導四：梯形的面積=兩個三角形的面積之和

2×4÷2+8×4÷2=20cm2

面積=上底×高÷2+下底×高÷2

推導一

推導二

推導三

推導四

（3）舉一反三，代數思維。

生：同一個梯形，我們用不同的轉化方式推導出了這么多的公式，那么梯形的面積公式到底是什么呢？它們之間有什么聯系呢？

師：其實這幾個面積公式是一樣的，我們通過整理可以發現，它們都可以變成“（上底+下底）×高÷2”的形式。用字母表示是S=（a+b）×h÷2。

（4）課件呈現所有的轉化方法。

師：（課件呈現所有的轉化方法）如果把這九種轉化方法按照分、合、移、補分類，各是哪幾種？

（3、5、6 為分，2 為合，9 為補，1、4、7、8 為移。課件歸并展示分類）

【設計意圖：這節課，我們希望學生經歷用分、合、移、補等方法探索梯形面積計算方法的過程，培養空間觀念；經歷方法的交流詮釋、轉化溝通、抽象概括過程，掌握梯形的面積計算公式，培養代數思維能力。因而課堂重點在開放探究和歸納溝通，所以這兩個環節應給予學生充分的時間思考、計算、交流、溝通。特別在反饋階段，由于涉及方法太多，切忌平均使用力量，所以在開放探究和小組交流的基礎上溝通歸納，對各類方法有所側重，而學生最容易想到的分的方法，可以作為計算組合圖形面積的思路。】

采用帶網格的梯形進行教學，杜絕了教師指引下的“操作木偶”，讓學生帶著想解決的問題對梯形進行“分”“合”“移”“補”，轉化成學過的圖形，自主性強。轉化后的圖形與原梯形面積、對應邊之間的關系一目了然，使研究具有可視性。由于研究材料的更新，促使圖形轉化的難度降低，學生不但輕松理解轉化思想的優越性，而且使研究更加深入，對梯形面積公式的歸納、發現和推導更充裕。可視、可操作、可推理，學生經歷了把新圖形轉化成已知圖形、從具體數據計算到推導梯形面積公式，最后代數化思維得到梯形面積字母公式，這樣的過程讓學習真實發生，讓學生體驗探究性學習的樂趣，這正是本課研究價值所在。