同一條件極值問題的多種求解思路

馬林　王丹

【摘 要】本文針對《高等數學》教材中常用的關于多元函數條件極值的實際問題，建立模型，應用均值不等式法、等式約束極值的代入法、拉格朗日乘數法進行求解，一題多解，從而打開學生思路，啟發學生思考。

【關鍵詞】條件極值;均值不等式;等式約束;拉格朗日乘數法

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0013-02

多元函數的極值是多元微分學應用的重要知識點，也是高等數學緊密聯系實際的最直觀地體現。它分為無條件極值和條件極值兩種情況，條件極值問題因其考慮約束條件，通常會復雜一些。本文針對教材中常用的關于多元函數條件極值的實際問題，建立模型，首先用均值不等式法、等式約束極值的代入法計算體積的最大值，最后用經典的Lagrange乘數法進行對比[1]。

實際問題：表面積為的長方體，問長、寬、高各為多少時，才能使得體積達到最大？

首先依據題意，可以建立模型，設長方體的長、寬、高各自為米、米、米，則

長方體的表面積? ? ?（1）

長方體的體積，? ? （2）

1? ?均值不等式法

中學時學習過均值不等式，當時，≥，當且僅當時等式成立，即幾何平均數小于等于算數平均數，它可以推廣到三個至個形式，即當，時，≥，

當且僅當時等式成立。

由此，上述實際問題中，要求體積的最大值，可以先求出的最大值，然后開方即得的最大值。

那么

≤=

當且僅當即時，

達到最大值，同時取到最大值。

由均值不等式的形式，也可以將該方法推廣到元函數，在高維度亦適用。利用均值不等式求函數的極值，時常需要把函數先進行變形，這一步通常技巧性較強，起著承前啟后的重要作用，接著再利用“積定”求和的最小值或“和定”求積的最大值。在運用均值不等式時，一定要注意“一正二定三相等”的條件[2]。

2? ?等式約束極值的代入法

將表面積的中約束條件代入體積，即變形等式（1）

得到，將代入（2）中有，

由此可得是和的二元函數，那么根據題意，我們需要計算這個的最大值，只需解下面的方程組：

化簡后并代入約束條件（1）式得

由此得到唯一駐點。由題意知表面積固定體積最大的長方體一定存在，體積函數又只有唯一駐點，因此該駐點即為所求最大值點，從而當時，體積最大。

等式約束極值的代入法將多元函數條件極值問題轉化為無條件極值問題，計算稍顯繁復[3]。

3? ?拉格朗日乘數法

約束條件：

目標函數：

建立拉格朗日函數：

得方程組

進一步化簡得

從而得，為唯一可能的極值點，從問題本身意義出發可知，此極值點即為最大值點，此時長方體體積達到最大。

拉格朗日乘數法需計算多元高次方程組，是求解一般多元函數條件極值問題的經典方法[4]。

4? ?結束語

縱觀全文的三種解題方法，利用均值不等式的方法機巧多變，大幅度減輕了計算任務，但是它適應范圍較窄，不具有普適性;等式約束極值的代入法，將約束條件代入目標函數，大大加重了計算量，且容易出錯;拉格朗日乘數法，清晰明了，當之無愧的是計算多元函數條件極值的經典思路，當然多元高次方程組的計算難度也不容小覷。

本文針對多元函數條件極值問題運用一題多解的思想，有助于學生打開思路，更有效地理解和掌握這一重要知識點，并感受數學解決問題的精妙，提高學習知識的主觀能動性。

【參考文獻】

[1]凌亞麗.條件極值問題的初等解法和案例分析[J].河北北方學院學報，2011（6）.

[2]曹宏舉等.多元函數條件極值的四種求解方法[J].高等數學研究，2017（2）.

[3]龔榮芳.關于多元函數極值判定方法的教學思考[J].中國科教創新導刊，2011（17）.

[4]吳贛昌.高等數學（下冊）第四版[M].北京：中國人民大學出版社，2011.