一次函數(shù)解初中幾何動(dòng)點(diǎn)問題

王淑艷

【摘 要】幾何動(dòng)點(diǎn)問題是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)和必考題型，其綜合性強(qiáng)、難度大，變量多，因而得分率相對較低。本文主要講解用解析法解決幾何動(dòng)點(diǎn)的相關(guān)問題。

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù);幾何動(dòng)點(diǎn)問題;解析法;坐標(biāo)系;數(shù)學(xué)思想

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0147-01

1? ?基本思路

建立直角坐標(biāo)系，以幾何圖形的點(diǎn)、線、角、長度、面積等基本量，利用平面幾何公理定理推論，構(gòu)建變量與已知量的函數(shù)，計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想。

2? ?舉例說明

例1.如圖1，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，Q是BC邊上的任意一點(diǎn)，連接AQ，DQ，當(dāng)Q在何處時(shí)，△ADQ的周長最??？在圖中找出Q點(diǎn)的位置，并求出BQ的長。

解題思路：先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，找A點(diǎn)點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為A′，將AQ轉(zhuǎn)化為A′Q;然后用數(shù)形結(jié)合的思想，建立坐標(biāo)系;最后用函數(shù)與方程的思想，建立一次函數(shù)，解方程，進(jìn)行計(jì)算，得到答案。

解析：如圖1，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，AB為y軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，連接A′D交BC于Q點(diǎn)，點(diǎn)Q即為所求。

則B（0，0），A（0，2），A′（0，-2），D（3，2）。設(shè)直線A′D解析式為y=kx+b。

∴k=，b=-2，

∴y=x-2，可得BQ=。

例2（2018年廣東省數(shù)學(xué)中考試卷第24題）如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，連接AC，OD交于點(diǎn)E。

（1）證明：OD//BC;

（2）若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切;

（3）在（2）條件下，連接BD交⊙O于點(diǎn)F，連接EF，若BC=1，求EF的長。

解析：（1）（2）略，解（3），如圖2，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED為x軸，AC為y軸，建立直角坐標(biāo)系，作FG、BH⊥x軸于G、H點(diǎn)，連接AF。

∵BC=1，tan∠ABC=2，

又∵tan∠ABC=AC/BC，

∴AC=2，

∵AE=EC，

∴AE=EC=1，

∴A（0，1），C（0，-1），B（-1，-1），

∵∠ABC=∠DAC，

∴tan∠DAC=2，

又∵tan∠DAC=DE/AE，

∴DE=2，∴AD=，

又∵AD=CD，∴DH=3，BD=，

∵AF⊥BD，AB=AD，

∴2DF=BD，

∵FG∥BH，

∴DF/DB=DG/DH=FG/BH，

∴FG=，再建立一次函數(shù)求出直線BD的解析式，將y=代入，即可求出F點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得EF=。

學(xué)生要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想分析題干，尋找已知和未知的關(guān)系，并反復(fù)練習(xí)，提高解題能力，才能真正掌握解決幾何動(dòng)點(diǎn)問題的方法。