初中數學中將軍飲馬模型變式及教法探討

李志璇

【摘 要】初中數學中將軍飲馬模型是一種以對稱轉化線段的思想，能夠解決動點到定點的距離之和的最小值問題。由于其多變性，在考試命題中，其常常與函數圖像、幾何圖形相結合，考察學生的綜合思維能力以及計算能力。本文從最基礎的將軍飲馬模型出發，歸納總結了其特征，羅列了其多種變形模型，并梳理了模型的教學重點。

【關鍵詞】將軍飲馬;動點;線段最值

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0172-03

近年來，隨著社會經濟的進步，我國的教育事業正在經歷一場深刻的變革[1]。在中考數學命題中，結合了幾何圖形、函數與動點，全面考察學生運用知識的能力，邏輯思維能力、思維發散能力等綜合性大題越發受到命題者的青睞。就筆者所在的成都市而言，自2008年至2018年，每年中考數學試卷壓軸大題無一例外均是這一類型的題目。在福建省[2]、浙江省[3]、湖北省[4]等多地的中考命題中，也將這一類型的題目作為考察學生綜合運用知識，分析探索問題的重要手段。而在諸多類型的動點問題中，將軍飲馬模型因其多變性而考頻極高。

盡管將軍飲馬模型的思想可以巧妙地結合于函數圖像和幾何圖形之中，產生多種變形情況，同時其特征明顯，易于識別歸納，求解思路相通。因此，學生只要能夠掌握將軍飲馬模型的基礎模型以及其主要的變形形式，便可輕松識別并解答該類題目。

1? ?基礎模型

將軍飲馬問題最早源于古羅馬：將軍每日需從軍營A出發，先到河水l處讓馬飲水，后去位于河對岸的軍營B，那么將軍在何處飲馬才能使路程最短（圖1①）？在此問題中，由于兩點之間線段最短，則線段AB與直線l的交點即為最佳的飲馬位置（圖1②）。此時將軍需要走過的路程即為A、B軍營之間的距離。

而若A、B軍營的位置發生變化，由位于河水l兩側變為同側時，問題則轉變為在直線l的同一側有定點A、B，在直線l上有動點M，求M運動到何處時，AM+BM有最小值（圖2①）？

由于線段AB不再與直線l相交，無法直接使用兩點間線段最短的知識解決問題，此時需要引導學生對比圖1與圖2的異同，設法將A、B位于河水同側的未知情況轉化為A、B位于河水異側的已知情況進行求解。而二者之間轉化的方法即為對稱：通過作A點關于直線l的對稱點（圖2②），由于，則可將AM+BM的值轉化為的值。此時依據線段公理即可得到當M運動至與直線l的交點位置時，AM+BM取得最小值。

在基礎模型中，重點需要讓學生掌握將軍飲馬模型的特征以及求解思路。模型的特征可以概括為“點、線、最值”。其中“點”表示模型中存在動點及定點;“線”表示動點的運動軌跡為直線;“最值”表示模型求解的問題為線段的最值問題。當這三個要素在題目中同時出現時，則可以套用該模型的思路進行求解。而模型的求解方法則是通過對稱的方法轉化線段，最終利用線段公理找出最佳“飲馬”位置。

2? ?模型變形

除了將軍飲馬的基礎模型之外，該模型還存在多種變形，它們同樣具備“點、線、最值”的要素，需要學生

掌握。

2.1? 一定點兩動點

如圖3①，在∠AOB中有定點P，在射線OA、OB上分別有動點M、N，則當M、N運動至何處時MPN的周長最小？

圖3? 基礎模型變形—兩動點一定點

教學過程中，在學生僅掌握了基礎模型只有一個動點的情況下，可以引導學生先將其中一個動點視為定點固定不動，將兩個動點的情形轉化為已知的一個動點的情況進行思考，進而得出分別關于兩個動點的運動軌跡作定點P的對稱點，將三角形周長的三邊轉化為到的距離的思路。

求解該題，需分別關于OA、OB作P點的對稱點、（圖3②）。由于且，則可將MPN的周長PM+MN+NP轉化為，此時，依據線段公理即可知當M、N分別運動至、的位置時MPN的周長取得最小值。

在該題中，可以進一步發現，作對稱點的本質是線段的轉化。在圖3①中，PM、PN、MN三條線段均位于兩條運動軌跡的同側，而通過對稱的方法，得到的、、MN三條線段則是分別位于兩條運動軌跡的不同側，此時才可以利用線段公理成功求解問題。即作對稱的過程就是要將問題中的線段分別轉化到運動軌跡的不同側。

2.2? 兩定點兩動點

如圖4①，在∠AOB中有定點P、Q，在射線OA、OB上分別有動點M、N，則當M、N運動至何處時四邊形MPQN的周長最小？

圖4? 基礎模型變形—兩動點兩定點

初看之下，該題是求解四條線段的和的最小值。但不難發現，線段QP的長度為定值，那么該問題的實質仍是PM、MN、NQ三條線段的和的最小值。與一定點兩定點的情況相比，該問題的難點在于當同時有多個運動軌跡和多個定點時，如何確定每個定點對應的對稱軸。此時需抓住在前一模型中得出的結論“作對稱的過程就是要將問題中的線段分別轉化到運動軌跡的不同側”。圖4①中，需要轉化的線段為PM、BQ。為了保證對稱后的線段仍是首尾相連，則只能將點P關于OA對稱，將Q關于OB對稱。也即作定點關于與其相連接的動點的軌跡的對稱點。

解答該題，需分別作P、Q關于OA、OB的對稱點、，將四邊形MPQN的周長PM+MN+NQ+PQ轉化為，依據線段公理即可知當M、N分別運動至、的位置時四邊形MPQN的周長取得最小值。

2.3? 兩動點相對位置固定

如圖5①，在直線l一側有定點P、Q，在直線l上有動點M、N，且MN長度為a，則當M、N運動至何處時，線段AM+MN+NB的和取得最小值？

圖5? 基礎模型變形—兩定點相對位置固定

該題中，由于線段MN的長度固定，因此，求AM、MN、NB三條線段的和的最小值實則是求AM和NB兩條線段的和的最小值，這就與將軍飲馬基礎模型的情況相似。而與基礎模型相比，其差異在于基礎模型中只有一個動點，要求解的線段首尾相連，而此題中有兩個運動軌跡相同，距離固定的兩個動點，使得實際要求解的線段AM和NB并未相連，無法直接將線段的和轉化為兩點間的距離，但M、N兩點的相對位置是固定的，也即線段MN的長度與方向固定。那么，可以通過平移其中一個定點，則可以排除線段MN的影響，進而套用基礎模型的方法進行求解。

首先應將點A沿與直線平行的方向平移長度a得到，將要求解的線段轉化為。即將問題轉化為了將軍飲馬基礎模型，只需作B點關于直線l的對稱點，連接與直線相交于點，再將點向左平移長度a可得，則當M和N分別運動到點和點的位置時，AM+MN+BN的和取得最小值。

這個模型的關鍵在于發現線段MN并不會對三條線段的和的結果產生影響，并通過平移的方法將實際要求解的線段首尾相接，從而符合基礎模型的特征得以求解。

2.4? 線段差的最值

如圖6①，在直線一側有定點A、B，在直線上有動點M，則M運動到何處時|PA-PB|取得最大值？M運動到何處時|PA-PB|取得最小值？

圖6? 基礎模型變形—線段差的最值

考慮線段的差的最大值問題時，需結合三角形的三邊關系進行思考。M在直線上運動，只要M不在直線AB上時，則A、B、M三點定會組成ABM。而在三角形之中，由于兩邊之差必小于第三邊，因此|PA-PB|

而對于|PA-PB|的最小值，由于絕對值符號的存在，|PA-PB|≥0。因此，當且僅當PA=PB時，|PA-PB|取得最小值0，此時M位于線段AB的中垂線與直線l的交點位置。

求解|PA-PB|的最大值，需延長線段AB與直線交于點（圖6②），此時|PA-PB|=AB，取得最大值。求解|PA-PB|的最小值，則需作線段AB的中垂線與直線交于點（圖6③），此時PA=PB，|PA-PB|取得最小值0。

在這一模型中，需要求解的問題由線段之和的最小值變為了線段之差的最大值和最小值。而求解的思路也由利用對稱轉化線段求解變為利用三角形的三邊關系求解。因此需要學生掌握的是在實際題目中能夠依據需要求解的問題選擇恰當的解題思路。

3? ?典型例題

在初中數學中總結模型的意義在于當面對復雜的題目時，學生能夠在紛繁的條件和圖形中識別出已知模型的特征，從而在解題時有章可循、有法可依，不僅可以訓練學生的邏輯思維能力，還可以大大提升解題效率。因此，在面對復雜題目時，能夠迅速準確地識別出典型模型的存在則尤為重要。這就需要學生在充分掌握模型特征的基礎上有足夠的練習。以下是將軍飲馬模型及其變形情況的典型例題。

如圖7①，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為____cm（杯壁厚度不計）。

圖7? 將軍飲馬基礎模型例題

解析：將圓柱體側面展開為圖7②中的矩形，則問題轉化為螞蟻從A處出發，先到達QR邊上點M處后再到達B點的最短路徑。其中A、B兩點即為定點，螞蟻由外壁進入內壁的位置，也即QR邊上M點的位置為動點，QR邊則為動點的運動軌跡。符合將軍飲馬模型基礎模型的特征。因此，可作A點關于直線QR的對稱點，連接，則當M運動至與QR的交點處時螞蟻走過的路徑最短。最短路徑長度。

如圖8①，∠AOB=30°，OC=5，OD=12，點E、F分別是射線OA、OB上的動點，求CF+EF+DE的最小值。

圖8? 兩定點兩動點模型例題

解析：該題中，C、D為定點，E、F為動點，OA、OB分別為E、F的運動軌跡，符合兩定點兩動點的模型特征。定點C與動點F相連接，則作點C關于F的運動軌跡OB的對稱點，將線段CF轉化為。同理作點D關于OA的對稱點，將線段DE轉化為。則，其最小值即為線段的長度。由于，則，

如圖9①在東西向河流的兩側分別有城市A和城市B，兩市距河岸的距離分別為50m和70m，A、B兩市東西間距50m，河水寬20m。為了交通方便，現欲修橋。由于要節約成本，橋只能垂直河岸修建。那么由A市到B市的最短交通距離是多少米？

圖9? 兩動點相對位置固定模型例題

解析：該題中，城市A、城市B的位置固定，為定點，修橋位置M、N為動點。由于河寬一定，且橋必須與河岸垂直，則M、N的相對位置固定。題目實質尋求的是AM+MN+NB的最小值。如圖9②，可將A點沿與MN平行的方向平移至處，使得，此時，需要求解的線段則轉化為了，而由于長度固定，則僅需求得的最小值情況。因此，的長度即是由A市到達B市的最短距離。。

【參考文獻】

[1]曾真.淺談初中班級自主管理建設[J].教育現代化，2018（44）.

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[3]鄭妤.初中數學動點型幾何問題的教學實踐研究[D].杭州師范大學，2015.

[4]彭峻峰.初中數學中的幾個最值模型初探[J].科教文匯， 2014（27）.