把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生深度體驗(yàn)

馮小輝

摘要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)“雙基”教學(xué)的核心，一切數(shù)學(xué)教學(xué)都基于概念產(chǎn)生，因此把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，既是促進(jìn)學(xué)生深度體驗(yàn)，又是實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法更高程度的理解。本文以《函數(shù)的單調(diào)性》的概念教學(xué)案例讓學(xué)生真正經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性概念化的過(guò)程，并對(duì)學(xué)生的有效深度體驗(yàn)進(jìn)行分析，真正促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解與反思，以實(shí)現(xiàn)體驗(yàn)向高層次的轉(zhuǎn)化，從而探究出數(shù)學(xué)學(xué)科背后所反映的知識(shí)、方法、態(tài)度、價(jià)值觀“產(chǎn)生情感且生成意義”，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念??? 核心問(wèn)題??? 深度體驗(yàn)??? 反思

概念教學(xué)要使學(xué)生自然地、水到渠成地實(shí)現(xiàn)“概念的形成”。高中數(shù)學(xué)人教A版的主編寄語(yǔ)中說(shuō)：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的。如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過(guò)程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味。”我認(rèn)為，這應(yīng)該成為概念教學(xué)的基本指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)課就應(yīng)該使概念出得自然、水到渠成，否則就不叫做“教數(shù)學(xué)”、“學(xué)數(shù)學(xué)”。從課堂教學(xué)的要求看，概念教學(xué)的自然和水到渠成應(yīng)該包括兩個(gè)方面：一是知識(shí)的邏輯順序自然;二是學(xué)生心理邏輯的自然，主要是思維過(guò)程的自然。“自然的概念教學(xué)過(guò)程”是上述兩方面的融合。在引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，主要強(qiáng)調(diào)“讓學(xué)生參與到定義概念的活動(dòng)中來(lái)”，不輕易打斷學(xué)生的思維和活動(dòng)，適時(shí)恰點(diǎn)地“以問(wèn)題引導(dǎo)活動(dòng)”，在“追問(wèn)（質(zhì)疑）——反思”的過(guò)程中深化概念的理解，使“概念的理解”成為學(xué)生自己主動(dòng)思維的結(jié)果。^[1]

學(xué)校二十年磨一劍的核心問(wèn)題教學(xué)更是提出概念課教學(xué)研究的著眼點(diǎn)不只在于對(duì)文本數(shù)學(xué)知識(shí)意義的理解與掌握，而是在獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)理解和掌握的同時(shí)形成學(xué)生在活動(dòng)體驗(yàn)基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)，更需要著眼于數(shù)學(xué)學(xué)科教育的特點(diǎn)和目的，在獲得知識(shí)與方法的背后以實(shí)現(xiàn)體驗(yàn)向高層次的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的結(jié)果性目標(biāo)與體驗(yàn)性目標(biāo)獲得更高達(dá)成度的教學(xué)活動(dòng)規(guī)范形式。筆者采用核心問(wèn)題教學(xué)的提出問(wèn)題——解決問(wèn)題——反思提升——運(yùn)用反饋四個(gè)環(huán)節(jié)^[3]進(jìn)行了《函數(shù)的單調(diào)性》進(jìn)行概念教學(xué)，下面就以本節(jié)課為案例，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂上的深度體驗(yàn)進(jìn)行剖析。以下是課堂實(shí)錄片段：

一、課堂實(shí)錄

數(shù)學(xué)概念課首先對(duì)教師就需要深挖概念的本質(zhì)，需要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，也就是深刻理解教材，教什么比怎么教更重要，要教數(shù)學(xué)這就要求教師自己先理解好數(shù)學(xué)：了解數(shù)學(xué)概念的背景，掌握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，把握概念的“多元聯(lián)系表示”，挖掘知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性精神等情感、態(tài)度、價(jià)值觀資源。本節(jié)課從溫度變化圖、股票價(jià)格走勢(shì)圖讓同學(xué)們初步體驗(yàn)到生活中有許多數(shù)據(jù)變化規(guī)律的例子，而且貼近生活，視角新穎，并與學(xué)生生活實(shí)際和思維水平密切關(guān)聯(lián)，學(xué)生能很快進(jìn)入對(duì)“圖象”的描述。而從函數(shù)的觀點(diǎn)看，它反映的就是函數(shù)值隨自變量的變化在變大還是變小，同學(xué)們?cè)诔踔袑?duì)這種函數(shù)的性質(zhì)就有一定的認(rèn)識(shí)，但沒(méi)有嚴(yán)格的定義，這就能激發(fā)內(nèi)在的緘默知識(shí)顯現(xiàn)，此時(shí)就需要一個(gè)核心問(wèn)題來(lái)調(diào)動(dòng)，激發(fā)學(xué)生自主探究的熱情，順理成章的給出核心問(wèn)題：“請(qǐng)任畫一個(gè)函數(shù)圖象，用符號(hào)語(yǔ)言描述其函數(shù)值隨自變量變化的增減規(guī)律。” ^[4]

（一）恰當(dāng)?shù)暮诵膯?wèn)題是促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的基石

核心問(wèn)題前半節(jié)：“請(qǐng)任畫一個(gè)函數(shù)圖象”，學(xué)生都能畫一些一次和二次函數(shù)圖象探究，學(xué)生個(gè)體能夠親身經(jīng)歷，就有了體驗(yàn)，就會(huì)引起感覺(jué)，這就達(dá)到了體驗(yàn)的最低層次—經(jīng)歷。

核心問(wèn)題后半節(jié)：“用符號(hào)語(yǔ)言描述其函數(shù)值隨自變量變化的增減規(guī)律。”學(xué)生腦海中自然就會(huì)閃現(xiàn)出用圖象研究函數(shù)性質(zhì)的緘默知識(shí)與思想方法，從而引起一連串的思考：“所畫的圖象特征是什么”，“圖形特征如何轉(zhuǎn)化自然語(yǔ)言”，“自然語(yǔ)言如何轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言”，這就是學(xué)生亟需解決的客觀問(wèn)題，過(guò)程中讓學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般，從具體到抽象概括出增（減）函數(shù)的定義，真正體會(huì)到了三種語(yǔ)言在轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)，產(chǎn)生了新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步讓學(xué)生進(jìn)行了思維深層次的體驗(yàn)，把所有的感覺(jué)，情感融入圖象的情境中，這是一種具體的體驗(yàn)，具體的體驗(yàn)就促進(jìn)了學(xué)生深度體驗(yàn)，形成了知識(shí)方法的表象特征打下了堅(jiān)實(shí)的基石。

這樣的核心問(wèn)題力求使學(xué)生了解函數(shù)單調(diào)性概念的背景和形成過(guò)程，了解為什么要引入這個(gè)概念，怎樣定義這個(gè)概念，怎樣入手研究一個(gè)新的課題。這實(shí)際上學(xué)生對(duì)概念的深度體驗(yàn)就是靠學(xué)生親身去踐行，處在情境中感受的一個(gè)過(guò)程，那么就要一個(gè)主線引領(lǐng)學(xué)生去踐行，從上面核心問(wèn)題的定義與表達(dá)要求，完成核心問(wèn)題的過(guò)程就是學(xué)生體驗(yàn)的過(guò)程，同時(shí)，更為重要的，本節(jié)課的核心問(wèn)題前后兩半節(jié)就是相互關(guān)聯(lián)的，關(guān)聯(lián)的體驗(yàn)就調(diào)動(dòng)了學(xué)生的多種器官，激發(fā)他們的情感，由此學(xué)生完成核心問(wèn)題的過(guò)程就是進(jìn)行關(guān)聯(lián)體驗(yàn)的過(guò)程，教師也忘掉“結(jié)論性的知識(shí)”，親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)展軌跡，體驗(yàn)知識(shí)的成長(zhǎng)過(guò)程與成長(zhǎng)方法。

（二）深度體驗(yàn)促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念化過(guò)程的催化劑

在引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，主要強(qiáng)調(diào)“讓學(xué)生參與到定義概念的活動(dòng)中來(lái)”，不輕易打斷學(xué)生的思維和活動(dòng)，適時(shí)恰點(diǎn)地“以問(wèn)題引導(dǎo)活動(dòng)”，在“追問(wèn)（質(zhì)疑）——反思”的過(guò)程中深化概念的理解，使“概念的理解”成為學(xué)生自己主動(dòng)思維的結(jié)果。

課堂上學(xué)生在理解核心問(wèn)題之后，大多數(shù)同學(xué)能作圖一次、二次、反比例、分段函數(shù)，能作出這些類型的函數(shù)比如（1）（2）（3）（4）……等等，學(xué)生在畫圖的過(guò)程中，能夠從圖形的走勢(shì)來(lái)理解函數(shù)的單調(diào)性，形成形象化的視覺(jué)經(jīng)驗(yàn)。教師通過(guò)展示學(xué)生作的圖，提供豐富的感性材料，讓學(xué)生從圖形語(yǔ)言體驗(yàn)函數(shù)單調(diào)性的概念。學(xué)生能從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，再用自己的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，用自然語(yǔ)言（文字語(yǔ)言）表達(dá)自己對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解。同時(shí)也間接提供了判斷函數(shù)單調(diào)性的方法——圖象法。在實(shí)施過(guò)程中學(xué)生能夠用最直接淺顯的語(yǔ)言：“從左向右看，如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上圖象上升，稱函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上圖象下降，稱函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)”，或者“從左向右，若圖象成上升趨勢(shì)，稱函數(shù)為增函數(shù);從左向右，若圖象成下降趨勢(shì)，稱函數(shù)為減函數(shù)”來(lái)描述所理解的增函數(shù)和減函數(shù)。

學(xué)生小組交流討論后，對(duì)具體函數(shù)表達(dá)了探尋的本質(zhì)屬性后，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，要求學(xué)生從具體函數(shù)單調(diào)性的定義，遷移到一般意義的函數(shù)，抽象概括出增函數(shù)準(zhǔn)確的定義（符號(hào)語(yǔ)言），然后類比得出減函數(shù)的定義。由于有了具體函數(shù)的單調(diào)性定義，學(xué)生能夠很容易得到一般意義上的單調(diào)性定義：對(duì)于屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量，都有，稱為該區(qū)間上的增函數(shù);若都有，稱為該區(qū)間上的減函數(shù)。至此學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，生成對(duì)抽象函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)語(yǔ)言上的認(rèn)識(shí)。

本節(jié)課，師生對(duì)對(duì)所探究了函數(shù)單調(diào)性的來(lái)源、成長(zhǎng)過(guò)程與成長(zhǎng)方法、本質(zhì)與結(jié)構(gòu)等有著透徹的認(rèn)識(shí)。課堂上思維的碰撞不僅是師生之間與生生間智慧的交鋒，更是學(xué)生與學(xué)生，老師與學(xué)生情感的溝通，達(dá)到了“產(chǎn)生情感而生成意義”的體驗(yàn)性目標(biāo)，進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生心靈深處的深度體驗(yàn)。

（三）反思提升是促進(jìn)學(xué)生概括概念本質(zhì)的升華

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開(kāi)，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。

在反思提升環(huán)節(jié)，教師還要適時(shí)適切的引導(dǎo)學(xué)生概括出知識(shí)中蘊(yùn)含的思想方法和探究知識(shí)的思維方法：①函數(shù)的圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的等價(jià)轉(zhuǎn)化.②特殊到一般的思想方法.③直觀到抽象.④數(shù)形結(jié)合.⑤類比等。筆者根據(jù)學(xué)生具體情況，通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的深度體驗(yàn)（差商理解）。用差商描述“時(shí)，” ， 將基于的大小關(guān)系來(lái)討論對(duì)應(yīng)的的大小關(guān)系的方法轉(zhuǎn)變成了一個(gè)統(tǒng)一的差商式子與0比較的關(guān)系。差商的結(jié)果不僅可以用來(lái)判斷函數(shù)的增減性， 而且可以反映關(guān)于的變化率。它還有明顯的幾何意義，為以后的導(dǎo)數(shù)理解做好鋪墊。

這樣讓學(xué)生“既形成了知識(shí)又有數(shù)學(xué)思想方法，將核心問(wèn)題解決問(wèn)題中涉及的關(guān)聯(lián)體驗(yàn)進(jìn)一步提升，這樣本節(jié)課又上升了一個(gè)層次，上升到形—數(shù)—形的關(guān)聯(lián)，體驗(yàn)三種語(yǔ)言間的關(guān)聯(lián)。

（四）結(jié)果性與體驗(yàn)性目標(biāo)的達(dá)成更是促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念理解的內(nèi)化

學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程，我們需要對(duì)概念的理解進(jìn)行內(nèi)化，可以從三個(gè)方面進(jìn)行。一是進(jìn)行概念的辨析——以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）;二是概念的鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟;三四概念的“精致”——納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。^[2]本節(jié)課的最后，在運(yùn)用反饋環(huán)節(jié)側(cè)重檢測(cè)學(xué)生深度體驗(yàn)圖形語(yǔ)言、自然語(yǔ)言及符號(hào)語(yǔ)言在相互轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)情況。選取了生活的應(yīng)用舉例進(jìn)行課堂檢測(cè)：

學(xué)生將自己探究出的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決來(lái)實(shí)例，讓學(xué)生將三種語(yǔ)言在轉(zhuǎn)化中的關(guān)聯(lián)應(yīng)用，反思解題思路，再次深度體驗(yàn)到定義證明函數(shù)性單調(diào)性的步驟，讓學(xué)生有一定的成就感，學(xué)生不僅實(shí)現(xiàn)了體驗(yàn)性目標(biāo)的達(dá)成，也完成了本節(jié)課的結(jié)果性目標(biāo)，最終內(nèi)化成自己的數(shù)學(xué)知識(shí)方法，逐漸形成了學(xué)生內(nèi)在的緘默知識(shí)，也為以后的課堂探究函數(shù)的其他性質(zhì)做好了鋪墊。實(shí)際上是辨析、運(yùn)用、“精致”函數(shù)單調(diào)性的概念。

二、課后教學(xué)反思

李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”課后筆者認(rèn)真進(jìn)行了，數(shù)學(xué)概念的形成來(lái)自解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。但概念的高度抽象，造成了難懂、難教和難學(xué)，這就需要讓學(xué)生置身于符合自身實(shí)際的學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，從自己的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”、“再創(chuàng)造”的活動(dòng)過(guò)程。^[1]結(jié)合本節(jié)課的核心問(wèn)題數(shù)學(xué)，認(rèn)識(shí)到概念教學(xué)促進(jìn)學(xué)生深度體驗(yàn)的實(shí)質(zhì)就是是理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，它是一個(gè)多側(cè)面、多層次、無(wú)止境的過(guò)程

第一，理解數(shù)學(xué)，是指對(duì)所教數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源、成長(zhǎng)過(guò)程與成長(zhǎng)方法、本質(zhì)與結(jié)構(gòu)等有著透徹的認(rèn)識(shí)。即對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)既“知其然”，也“知其所以然、所以不然”，知其“來(lái)自何處、去向何方”，知其本質(zhì)、結(jié)構(gòu)與教育價(jià)值。以核心問(wèn)題教學(xué)促進(jìn)理解數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是把靜態(tài)的、成熟的、不利于學(xué)生接受和消化的學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的、更利于學(xué)生接受與消化、更富營(yíng)養(yǎng)的教育形態(tài)的數(shù)學(xué)。

第二，理解學(xué)生是指教師清楚學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn);清楚學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間的潛在距離;清楚學(xué)生的認(rèn)知障礙;清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;清楚不同學(xué)生間的認(rèn)知差異。以核心問(wèn)題教學(xué)促進(jìn)理解學(xué)生的實(shí)質(zhì)是教師準(zhǔn)確地把握學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)、潛能、需求、困難與差異，為以學(xué)定教、以導(dǎo)促研提供準(zhǔn)確的信息與依據(jù)。

第三，理解教學(xué)是指教師清楚教學(xué)的本質(zhì)與功能，掌握一定的教學(xué)方法與教學(xué)藝術(shù);清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)的基本原則，能夠把教與學(xué)作為有機(jī)的、相互促進(jìn)的整體來(lái)加以處理;清楚數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，能為不同的學(xué)生提供不同的數(shù)學(xué);清楚將不同類型的知識(shí)用不同的方式呈現(xiàn)給不同學(xué)生的策略與方法。以核心問(wèn)題教學(xué)促進(jìn)理解教學(xué)的實(shí)質(zhì)是以研定導(dǎo)，以導(dǎo)促研，實(shí)現(xiàn)教育價(jià)值與效益的最大化。

總而言之一定要重視概念教學(xué)，數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)更要“不惜時(shí)、不惜力”。這是因?yàn)椤皵?shù)學(xué)概念高度凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的思想精華，是數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶，蘊(yùn)含了最豐富的創(chuàng)新教育素材。在恰當(dāng)核心問(wèn)題的的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，課堂上，學(xué)生感覺(jué)不是老師在灌輸知識(shí)，而是同學(xué)親身體驗(yàn)探究出新的知識(shí)與思想方法，獲得了豐富而深刻的體驗(yàn)，不僅在于使學(xué)生掌握書本知識(shí)，更重要的是讓他們從中體驗(yàn)概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，領(lǐng)悟用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和認(rèn)識(shí)世界的思想真諦，學(xué)會(huì)用概念思維，進(jìn)而發(fā)展智力和培養(yǎng)能力，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科背后所反映的知識(shí)、方法、態(tài)度、價(jià)值觀“產(chǎn)生情感且生成意義” ，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)要返璞歸真，在概念的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中揭示它的本來(lái)面目，那么數(shù)學(xué)知識(shí)思想方法都能在潛移默化中形成，從而促進(jìn)學(xué)生的深度體驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力進(jìn)一步提升師生自我的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

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