數(shù)列知識(shí)結(jié)構(gòu)與方法拓展

■安徽省利辛高級(jí)中學(xué) 胡 彬

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)框架

二、結(jié)構(gòu)分析

在本章中，要了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法，并知道數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)關(guān)系；掌握求數(shù)列通項(xiàng)的幾種常用方法；理解等差數(shù)列的概念及其與一次函數(shù)的關(guān)系；掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系，并熟練掌握其推導(dǎo)方法。能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差(等比)關(guān)系，并能以其相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題，熟練掌握等差(等比)數(shù)列的基本運(yùn)算和相關(guān)性質(zhì)；熟練掌握數(shù)列求和的常用方法。本部分一直是高考的熱點(diǎn)與重點(diǎn)。預(yù)測(cè)2020年高考將會(huì)以等差(等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)、數(shù)學(xué)文化知識(shí)等綜合考查，有時(shí)考查數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的綜合，以中檔題為主。本部分涉及的數(shù)學(xué)思想主要為轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想、分類整合思想，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要是數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模。

三、典例分析

例1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

分析：先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，然后歸納出其通項(xiàng)公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系。

解：(1)數(shù)列中的符號(hào)問(wèn)題可通過(guò)(-1)n或(-1)n+1表示，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面數(shù)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為an=(-1)n(6n-5)。

(2)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1×3，3×5，5×7，7×9，…，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，故通項(xiàng)公式為

小結(jié)：解題時(shí)，需要注意以下幾個(gè)特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)符號(hào)特征等，并進(jìn)行不完全歸納、聯(lián)想、驗(yàn)證。

例2(2019年洛陽(yáng)聯(lián)考)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

分析：先利用通項(xiàng)公式的切入點(diǎn)an=來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的相互轉(zhuǎn)化，從而求出an，再利用不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求t的范圍。

解：當(dāng)n=1時(shí)3，解得；當(dāng)n≥2時(shí)

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)n-1為奇數(shù)，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為正奇數(shù))；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)n-1為偶數(shù)，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=3-為正偶數(shù))。

所以當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，顯然其最大值為；同理，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，其最小值為若由恒成立，則，即

小結(jié)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系，數(shù)列的單調(diào)性與不等式恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，以及邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算。

例3(2019年江西八校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列｛an｝滿足

分析：(1)由條件構(gòu)造，根據(jù)定義獲證；

(2)由(1)求出a，進(jìn)而

n求bn，根據(jù)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)特征選擇裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和Tn。

解：(1)因?yàn)椋杂謅=1，所以1，所以數(shù)列是以-1為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列。

小結(jié)：本題主要考查等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和等知識(shí)，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力及運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算。

例4(2018年福州八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1=2an+2(n∈N*)。

(1)求證：{an+2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析：(1)由遞推關(guān)系構(gòu)造an+1+2=2(an+2)，根據(jù)等比數(shù)列的定義知{an+2}是等比數(shù)列，從而求出an；(2)將(1)中的an代入bn，得到bn，用錯(cuò)位相減法求和，再由Sn的單調(diào)性給予證明。

解：(1)由an+1=2an+2(n∈N*)，得an+1+2=2(an+2)。又因?yàn)閍1=3，所以a1+2=5，所以{an+2}是首項(xiàng)為5，公比為2的等比數(shù)列。所以an+2=5×2n-1，所以an=5×2n-1-2。

所以對(duì)任意n∈N*，都有

小結(jié)：本題主要考查等比數(shù)列的判定方法及錯(cuò)位相減求和法的應(yīng)用，意在考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算。

例5設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn滿足Sn2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，n∈N*。

(1)求a1的值；

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有

分析：(1)由Sn與a1的關(guān)系直接求出a1的值；(2)利用前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系an=求解；(3)根據(jù)的通項(xiàng)公式，結(jié)合放縮法證明。

解：(1)令n=1代入得，又因?yàn)閍1=S1，所以，解得a1=2(負(fù)值舍去)。

又已知各項(xiàng)均為正數(shù)，故Sn=n2+n。

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n。當(dāng)n=1時(shí)，a1=2也滿足上式，所以an=2n，n∈N*。

(3)設(shè)k∈N*，則4k2+2k-(3k2+3k)=k2-k=k(k-1)≥0，所以4k2+2k≥3k2+3k，所以

小結(jié)：與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式的證明方法主要有兩種：(1)若數(shù)列的通項(xiàng)能夠直接求和，則先求和，再由和的特征證明不等式；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)不能直接求和，則先放縮后再求和證明。此類證明問(wèn)題能有效地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)解決問(wèn)題的能力。考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算。